2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1. 已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 2. 设A,B 是两个集合，则”A B A =I ”是“A B ⊆”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.494. 若变量,x y 满足约束条件1,2,1x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.25. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6. 已知5()x x-的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3 B.3- C.6 D.-67. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.47728. 已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99. 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（ ）A.89πB.169πC.34(21)π-D.312(21)π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 20(1)x dx ⎰-= .12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为135:号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13. 设F 是双曲线2222:1x y C a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为_________________。

14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15．已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。

如果全做，则按所做的前两题计分。

（Ⅰ）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲如图5，在O e 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （ⅰ）180MEN NOM ∠+∠=o； （ⅱ）FE FN FM FO =g g（Ⅱ）（本题满分6分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线35,:132x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=（ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ⅱ）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||||MA MB g的值。

（Ⅲ）（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲设0,0a b >>，且11a b a b+=+，证明： （ⅰ）2a b +≥；（ⅱ）22a a +<与22b b +<不可能同时成立。

17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角。

（Ⅰ）证明：2B A π-=;（Ⅱ）求sin sin A C +的取值范围。

18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。

每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球。

在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。

（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望。

19.（本小题满分13分）如图6，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点,P Q 分别在棱1,DD BC 上。

（Ⅰ）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（Ⅱ）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积。

20.（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26。

（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向。

（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率；（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD∆总是钝角三角形。

21.（本小题满分13分）已知0a >，函数()sin ([0,))axf x e x x =∈+∞。

记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n N ∈个极值点。

证明：（Ⅰ）数列{()}n f x 是等比数列； （Ⅱ）若a ≥，则对一切*,|()|n n n N x f x ∈<恒成立。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1.D 2.C 3.B 4.A 5. A6.D7.C8.B9.D10.A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 012.413.514.13n -15. (,0)(1,)-∞+∞U三、解答题： 16.（Ⅰ）证明：（ⅰ）如图a 所示，因为,M N 分别是弦,AB CD 的中点，所以,OM ON CD ⊥⊥，即90,90OME ENO ∠=∠=o o ，因此180OME ENO ∠+∠=o ，又四边形的内角和等于360o ，故180MEN NOM ∠+∠=o 。

（ⅱ）由（ⅰ）知，,,,O M E N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO =g g （Ⅱ）解：（ⅰ）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=①将222,cos x y x ρρθ=+=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=②（ⅱ）将5,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入②，得2180t ++=。

设这个方程的两个实根分别为，则由参数t 的几何意义即知，12||||||18MA MB t t ==g（Ⅲ）证明：由11,0,0a ba b a b a b ab++=+=>>，得1ab = （ⅰ）由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥（ⅱ）假设22a a +<与22b b +<同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01b <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾。

故22a a +<与22b b +<不可能同时成立。

17.解：（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =，即 sin sin()2B A π=+又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(2)2022C A B A A ππππ=-+=-+=->，所以(0,)4A π∈于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-sin cos2A A =+22sin sin 1A A =-++2192(sin )48A =--+因为04A π<<，所以0sin A <<21992(sin )2488A <--+≤由此可知sin sin A C +的取值范围是9]8解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的1个球是红球}，2A ={从乙甲箱中摸出的1个球是红球}， 1B ={顾客抽奖1次获一等奖}， 2B ={顾客抽奖1次获二等奖}，C ={顾客抽奖1次能获奖}由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1122121212,,B A A B A A A A C B B ==+=+因为124251(),()105102P A P A ====，所以 11212211()()()()525P B P A A P A P A ==+=⨯=212121212()()()()P B P A A A A P A A P A A =+=+1212()()()()P A P A P A P A =+1212()(1())(1())()P A P A P A P A =-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯= 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=（Ⅱ）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以1~(3,)5X B 于是00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===， 3303141(3)()()55125P X C ===故X 的分布列为X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125X 的数学期望为13()355E X =⨯=19.解法一：由题设知，1,,AA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图b 所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为11(0,0,0),(3,0,6),(0,6,0),(0,3,6),(6,,0)A B D D Q m ，其中,06m BQ m =≤≤。