第1章 随机事件及其概率例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解135213391352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13521139213)(C C C AB P ⋅=13391352113921313521339135213521139213)()()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352839513)(C C C C P =1352626213513)(C C C C BC P =83962621313528395131352626213513)()()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P ===某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然AB ⊂7.0)(=A P 56.0)(=B P 56.0)()(==B P AB P 8.07.056.0)()()(===A P AB P A B P例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。

求一批产品通过检验的概率。

4()()()kk k P B P AP B A ==∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分，00()0.1,()1P A P B A ==10991110100()0.2,()0.900C P A P B A C ===10982210100()0.4,()0.809C P A P B A C ===10973310100()0.2,()0.727C P A P B A C ===10964410100()0.1,()0.652C P A P B A C ===814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈⨯+⨯+⨯+⨯+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是0004()(|)0.11(|)0.1230.814()(|)ii i P A P B A P A B P A P B A =⋅⨯==≈⋅∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。

贝叶斯公式(Bayes)1()()()1,2,,()()k k k nii i P A P B A P A B k nP A P BA =⋅==∑L第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， （1）0≥k p ， （2）∑∞==11k kp2连续型随机变量概⎰∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ⎰+∞∞-=1)(dx x f 。

()=()F x f x '⎰=-=≤<b adx x f a F b F b X a P )()()()(第三章二维随机变量及其分布。

),F Y (y )则M 与N 的分布函数分别为)())(1)(z F z F Y X --特别地，当X ,Y 相互独立时，⎰⎰+∞∞-+∞∞--⋅=-=dxx z f x fdx x z x f z f Y XZ )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅-=-=dyy f y z fdy y y z f z f Y XZ )()(),()(或其中，f X (x )，f Y (y )为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘密度。

上式也称为f X (z )与f Y (z )的卷积，记为f X (z )*f Y (z )即X ,Y 相互独立时，f Z (z )= f X (z )*f Y (z )第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第六章样本及抽样分布常见统计量及其性质样本均值.11∑==ni i x n x 样本方差∑=--=ni i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(1112∑=--=ni i x x n S 样本k 阶原点矩 ∑===n i k i k k x n M 1.,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩 ∑==-='ni k i kk x x n M 1.,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n X D 2)(σ=，22)(σ=S E ，221)*(σnn S E -=,其中∑=-=n i i X X n S 122)(1*为二阶中心矩。

正态分布 设n x x x ,,,21Λ为来自正态总体),(2σμN 的一个样本，则样本函数).1,0(~/N nx u defσμ-t 分布∞<<∞-+Γ+Γ=+-t n t n n n t f n ,)1()2()21()(212π=。

样本函数),1(~/--n t ns x tdefμ 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。

(1) f (t )关于t =0(纵轴)对称；(2) f (t )的极限为N (0,1)的密度函数，即 定义 若X ~N (0, 1)，Y ~χ2(n )，X 与Y 独立，则 ).(~n t nY XT =t (n )称为自由度为n 的t —分布。

pλ∞<<-∞==-∞→x e t t f t n ,21)()(lim 22πϕ3、(1) t 分布表构成(P296)： P {t (n )>λ}=p (2) P {t (n )> t p (n )}=p ，t p (n )为水平p 的上侧分位数)(1n t p -)(n t p分布2χ设n 个相互独立的 X 1,X 2,…,Xn ，Xi ~N (0,1)，则 称为自由度为n 的χ2分布。

（1）(1)构成 P {χ2(n )>λ}=p ，已知n ,p 可查表(P298)求得λ;(2)。

样本函数),1(~)1(222--n S n wdefχσ其中)1(2-n χ表示自由度为n-1的2χ分布。

F分 布样本函数 ),1,1(~//2122222121--n n F S S Fdefσσ其中,)(11211211∑=--=n i i x x n S ;)(11212222∑=--=n i i y y n S )1,1(21--n n F 表示第一自由度为11-n ，第二自由度为12-n 的F 分布。

(2) χ2分布的可加性 )(~121n X χ)(~222n X χX 1,X 2 相互独立，则X 1+X 2 ~χ2(n 1+n 2)p )10(295.0χ)(~2122n X ni i χχ∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--Γ0,00,)(212)2/(212/y y e y y f yn n n n E =)(2χn D 2)(2=χλ水平为的上侧分位数分位点 {}2()P n χλα>=求 解：20.95(10) 3.940χ=)(2n αχλ= 若X ~χ2(n 1)，Y ~χ2(n 2) ，X ,Y 独立，则 ),(~2121n n F n Y n X F =称为第一自由度为n 1 ，第二自由度为n 2的F —分布，其概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+ΓΓ+Γ=+-0,00,)1)(2()()/)(2()(2/)(2122122/212121111y y y n n n y n n n n y h n n n n n λpF 分布表(P294)及有关计算 (1)构成：P {F (n 1,n 2)>λ}=p(2)有关计算P {F (n 1,n 2)>λ}=p λ=F p (n 1,n 2)性质： 11(,)(,)F m n F n m α-α=第七章参数估计第八章 假设检验单正态总体均值和方差的假设检验。