概率论与数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
()()(),()()()
()k k x x
x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt
2、离散型随机变量及其分布
3、连续型随机变量及其分布
4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,j i
i j g x y P Y y p i
L ，
连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y 单调
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j L 分布函数(,)i i ij
x x y y
F X Y p
边缘分布律：()i i ij j
p P X x p ()j j ij
i
p P Y y p
条件分布律：(),1,2,ij i j j
p P X x Y y i p
L ，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p
L
2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：
x y
dudv v u f y x F ),(),(
性质：2(,)
(,)1,(,),F x y F f x y x y
((,))(,)G
P x y G f x y dxdy
②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：
x
X dvdu v u f x F ),()(密度函数：
dv v x f x f X ),()(
y
Y dudv v u f y F ),()(
du y u f y f Y ),()(
③条件概率密度
y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(， x y f y x f y x f Y Y X ,)
()
,()(
3、随机变量的独立性
随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ， 离散型：..ij i j p p p ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y 4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j k
k i j x y z P Z z P X x Y y
连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型
1
)(k k k p x X E ，连续型
dx x xf X E )()(
②性质：(),E C C )()]([X E X E E ，)()(X CE CX E ，)()()(Y E X E Y X E b X aE b aX E )()(，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E
2、方差
①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X
②性质：0)( C D ，)()(2X D a b aX D ，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D 3、协方差与相关系数
①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y ，当X 、Y 相互独立时：0),( Y X Cov ②相关系数：
XY
，当X 、Y 相互独立时：0 XY
(X,Y 不相关)
③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov ，),(),(X Y Cov Y X Cov ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov
4、随机变量分布的期望和方差
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若,)(,)(2 X D X E 对于任意0 有2
)
(})({
X D X E X P
2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立， 2
)
(,)(i i i i X D X E 且C i 2
，则：
n
i i
P
n
i i n X E n
X n
1
1
)(),(1
1
②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0 ，有：lim 1A n n P p n
③辛钦大数定律：若1,,n X X L 独立同分布，且 )(i X E ，则
n P
n
i i X n
1
1
3、中心极限定理
①独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为02 的独立同分布时，
当n 充分大时有：)1,0(~1
N n n X
Y n
k k
n
②拉普拉斯定理：随机变量),(~p n B X 则对任意x 有：
x
t x x dt
e
x p np np X P )(21})
1({
lim 22
③近似计算：
)(
)(
)(
)(1
1
n n a n n b n n b n n X
n n a P b X
a P n
k k
n
k k
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本
总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k n
k n x F x x x F
2、统计量 (1)样本均值：
n
i i X n
X 1
1
(2)样本方差：
n
i i n
i i X n X n X X n S 1
22122
)(11
)(11 (3)样本标准差：
n
i i X X n S 12)(11 (4)样本k 阶距： 2,1,1
1
k
X
n
A n
i k
i k
(5)样本k 阶中心距：
n
i k i
k k k X X
n
M B 1
3,2,)(1
3、三大抽样分布
(1)2 分布：设随机变量n X X X 21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量
2
22212n X X X 所服从的分布称为自由度为n 的2 分布，记为)(~22n
性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22 ②设)(~),(~22n Y m X 且相互独立，则)(~2n m Y X
(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X ，且X 与Y 独立，则随机变量：n
Y X T
所服
从的分布称为自由度的n 的t 分布，记为)(~n t T
性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n
②2
2lim ()()x n n f x x
(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U ，且U 与V 独立，则随机变量2
1
21),(n V n U n n F
所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布， 记为),(~21n n F F ，性质：设12~(,)X F n n ，则
211
~(,)F n n X
七、参数估计
1.参数估计
(1) 定义：用),,(21n X X X
估计总体参数 ，称),,(21n X X X
为 的估计量，相应的
12(,,,)n x x x
L 为总体 的估计值。
(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩） 样本均值：
n
i i X n
X E X 1
1)(或dx x xf X E X
),()(
求法步骤：设总体X 的分布中包含有未知参数12,,,k L ，它的前k 阶原点矩
()(1,2,,)
i i E X i k L 中包含了未知参数
12,,,k
L ，即
12(,,,)(1,2,,)i i k g i k L L 。
又设n x x x ,,,21 为总体X 的n 个样本值，用样本矩
1
1(1,2,,)n i
i j j A X i k n L 代替i ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数
12,,,k L 的矩估计量12,,,k
L
3.点估计中的极大似然估计
极大似然估计法：n X X X ,,21取自X 的样本，设),(~ x f X 或~(,)X P x ， 求法步骤： ①似然函数：])([),()(1
1
n
i i
n i i
P x f L 或
②取对数：1
ln ()ln (,)n i
i L f x
或1
ln ()ln ()n
i
i L p
③解方程：0ln ,,0ln 1 k L
L ，解得：111212(,,,)(,,,)
n k k n x x x x x x
L L L
L 4.估计量的评价标准
5. 单正态总体参数的置信区间
八
假设
检
验
1.假设检验的基本概念
2.单正态总体均值和方差的假设检验。