2.1.1指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果,,,1n
x
a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次
当n 是偶数时，正数a 的正的n
负的n
次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数
时，0a ≥．
n a =；当n
a =；当n
(0)|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②
正数的负分数指数幂的意义是：
1()0,,,m
m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0
的负分数指
数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①
(0,,)
r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②
()(0,,)
r s rs a a a r s R =>∈ ③
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
2.1.2指数函数及其性质
指数函数练习
1．下列各式中成立的一项 （ ）
A ．71
7
7)(m n m
n =
B ．31243)3(-=-
C ．4
343
3)(y x y x +=+
D ．
33
39=
2．化简)3
1
()3)((65
61
3
12
12
13
2b a b a b a ÷-的结果
（ ）
A ．a 6
B ．a -
C ．a 9-
D ．2
9a
3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x
，则下列等式中不正确的是
（ ）
A ．f (x +y )=f(x )·f (y )
B ．)
()
(y f x f y x f =-）
（ C ．)()]
([)(Q n x f nx f n
∈=
D ．)()]([·
)]([)(+∈=N n y f x f xy f n
n
n
4．函数2
10
)
2()5(--+-=x x y
（ ）
A ．}2,5|{≠≠x x x
B ．}2|{>x x
C ．}5|{>x x
D ．}552|{><<x x x 或 5．若指数函数x
a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于
（ ）
A ．
2
5
1+
B ．
2
5
1+- C ．
2
5
1± D ．
2
1
5± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax
=的图象只可能是 （ ）
7．函数|
|2)(x x f -=的值域是
（ ） A ．]1,0(
B ．)1,0(
C ．),0(+∞
D ．R
8．函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=-0
,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围
（ ）
A ．)1,1(-
B ． ),1(+∞-
C ．}20|{-<>x x x 或
D ．}11|{-<>x x x 或
9．函数2
2)2
1(++-=x x y 得单调递增区间是
（ ） A ．]2
1,1[-
B ．]1,(--∞
C ．),2[+∞
D ．]2,2
1
[ 10．已知2
)(x
x e e x f --=，则下列正确的是
（ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数
11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x
f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 三、解答题： 13．求函数y x x =
--15
1
1
的定义域.
14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，
求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .
15．已知函数1
1
)(+-=x x a a x f (a ＞1).
（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.
16．函数f(x)＝a x
(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．
参考答案
一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 三、13． 解：要使函数有意义必须：
x x
x x x -≠-≠⎧⎨⎪
⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩10
1
010
∴定义域为：{}
x x R x x ∈≠≠且01,
14． 解：r
r
r
r
r c b c a c b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<c
b
c a .
当r ＞1时，1=+<⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a r
r
，所以a r +b r ＜c r
； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a r
r ，所以a r +b r ＞c r .
15．解：(1)是奇函数.
(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--
+-=
-x x x x a a a a x f x f 。

=)
1)(1()1)(1()1)(1(212121++-+-+-x x x x x x a a a a a a ∵a ＞1，x 1＜x 2，∴a 1
x ＜a
2
x . 又∵a 1
x +1＞0，a 2
x +1＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).
函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.
16、 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a 2
－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．
(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减， ∴a－a 2
＝a 2，即a ＝12
或a ＝0(舍去)，
综上所述，所求a 的值为12或3
2
.。