2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：特别地：（1）当a b c ++=0时，有ab c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322xx m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b +=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：Θa b c ab bc ac 2220++---=∴∆ABC 为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数）则()()232122n n +-+由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。

5、中考点拨：例1：因式分解：xxy 324-=________。

解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：2883223xy x y xy ++=_________。

解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y ()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：例1. 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，， 求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

解：a ab b ac c bc 222222++-+- =+-++()()a b c a b c 222 =+-()a b c 2∴原式=+-()a b c 2 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2. 已知a b c a b c ++=++=00333，，求证：a b c 5550++=证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()()∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式，可得abc =0，即a=0或b =0或c =0 若a=0，则b c =-，∴++=a b c 5550 若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++=说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

例3. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

解：Θx y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 229-+= 又x xy y 2292-+=() 两式相减得xy =0 所以x y 229+= 说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】1. 分解因式：（1）()()aa +--23122 （2）x x y x y x 5222()()-+- （3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+- 2. 已知：x x +=-13，求x x 441+的值。

3. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：ab c bc 22220---< 4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。

5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abca b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。

【试题答案】 1. （1）解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231=+-+()()4123a a =-+-()()4123a a 说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解。

（2）解：原式=---x x y x x y 5222()()=--x x y x 2321()()=--++x x y x x x 22211()()()（3）解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222=-+-()()x y a x y 222. 解：Θ()x x x x+=++121222 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。

证明：Θa b c bc 2222---Θa b c ，，是三角形三边∴++>a b c 0且ab c <+∴++--<()()a b c a b c 0即a b c bc 22220---< 4. 解Θωω210++= ∴+++=()()ωωω1102，即ω310-=∴=∴==ωωω32001366711() 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。

解：（1）Θab c abc 3333++=∴++-=a b c abc 33330 又Θab c abc 3333++- =++++---()()a b c a b c ab bc ca 222 而a b c ab bc ca a b b c c a 22222212++---=-+-+-[()()()] Θa b c ，，不全相等（2）Θabc ≠0∴原式=+++++1222abca b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0，即ab c =-+() ∴原式=+--1333abc b c b c [()] =+13abc bc b c [()] =-=-133abc abc ()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解。

掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项axbx c 2++（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。

这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x x 211240-+>，求x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解：Θx x 211240-+>例2. 如果x x mx mx 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把x 4分成xx 22⋅，而对于常数项-2，可能分解成()-⨯12，或者分解成()-⨯21，由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为()()x ax x bx 2212+-++，其中a 、b 为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：a b m =-==101，，此时，原式()()=+--x x x 2221（2）设原式分解为()()x cx x dx 2221+-++，其中c 、d 为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：解得：c d m ==-=-011，，此时，原式()()=--+x x x 22212. 在几何学中的应用例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

解：Θx y x xy y --+-+=22220 ∴--=x y 20或x y -+=10又Θx y +=8解得：x y ==⎧⎨⎩53或x y ==⎧⎨⎩3545.. ∴长方形的面积为15cm 2或6342cm 3、在代数证明题中的应用例. 证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。