()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=22
2221x a H x H n OB
n AO n L +=
费马定理
费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。

它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。

通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。

可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。

费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。

或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。

光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：
⎰∑∑
=∆=∆===ndl c
t l n c v l t P
Q i i i i i i 11
1
1
费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。

⎰==
01ndl c
t P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。

⎰
==0ndl L P Q
δ
δ
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。

② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点 的面法线，且两线段长度之和相等。

用费马原理导出反射定律 如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。

假设光线所处的介质为均匀介质。

光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。

那么点A 到点B 的光程为：
()
22222211x a H n x H n -+++=OB
n AO n L 21+=
很明显，光程L 是关于变量x 的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质中的一阶导数是0，即
()()
02
22
2
21
=-+--
+=x a H x a n x
H nx dx
dL
即有()I n I n -sin sin =即I I -=
反射定律由上面推导出来了。

进一步可以证明22dx
L
d >0 , 这说明满足反射定律的光线具有
最短光程。

从费马原理导出折射定律
下图中，两个介质均为均匀介质，它们的折射率分别为1n 、2n ，光线从1n 介质投射到折射面的O 点，光线折射后进入2n 介质，然后通过B 点。

设O 点到A 点垂足的距离是x ，由下图可以得出A 点到B 点的光程为
根据费马原理, 有
()()
02
22
22
21
1=-+--
+=x a H x a n x
H x n dx
dL 因而有221
1sin sin I n I n =
这就是折射定律。

同理可得, 可证明02>dx
L
d ，这说明满足折射定律的光线有最短的光程。

利用费马原理导出单球面折射成像公式
如上图所示，在一个半径为r 的单球面的分界面，其两侧的折射率分别为n 和'
n 。

主光轴上的一点P 发出一条光线PA ，光线进入'
n 介质时会发生折射，折射后的折射光线与主光轴
相交于点'P 。

光线'
PAP 的光程'
'
'
AP n nPA L +=，通过上图的几何关系，有
()()[]
()
()
()[
]
2
1
'
2
'
2
'
2
1
2
2
cos cos 2φπφ
----++---+=r s sr r s r n s r r s r r n L
光程L 是关于变量φ的函数，通过费马原理0=φd dL
推导出，()()'''AP
r s n PA s r n -=-，又由于
它们处于条件为近轴，φ的角度近视于0，1cos ≈φ，我们可以得出s PA -≈，'
's AP ≈，将它们带入上式，有
r n n s n s n -=-'''
这就是单球面在近轴情况下的折射公式。