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试判断可控及可 观测性。
x
1
2
1
x
2
u
0
4
0
y 0 1 1 0 x
[解]：可控性矩阵：Pc B A B A 41 B
1 3 9 27

2
2
2
2
0 0 0 0
0
0
0
0
ranPkc 24,所以系统状态不控 完。 全可
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可观测性矩阵：Po CT AT CT (AT )2CT (AT )3CT
1 A 0
05,eAt Pe0t
e0 5tP1
状则态随方着程t 的 解，为x1(：t)x或 xe 2A (tt)x( 0) ，0 t即eA 在(t系)B 统u(中)间d存。e在At 中、有隐藏e t 项着，不
稳定的因素。
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从上面的讨论可以看出：传递函数中有零极点对消时，与 内部描述是不等价的。有零极点对消会丢掉很重要的信息。那 末，传递函数在什么样的条件下才能完整地描述系统呢？
1
s3
1
G(s)C(sIA)1B0 1 1 0
s1 1
1 2 2 0 s1
s2 1 0
s4
其特征根为-1，对应的状态变量是x 2 ，构成了可控可观测子
空间。所以说，当且仅当系统的状态完全可控可观测时，系统
的外部描述等价于内部描述。
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应当指出：①当传递函数有零极点相消时，由于选择状态变量 的不同，它们可以分解为可控可观测子空间和不可控可观测子 空间；也可分解为可控可观测子空间和可控不可观测子空间。
[卡尔曼-吉伯特定理]：一个给定系统的传递函数，仅表示了系 统既可控又可观测的那部分系统，而不反映不可控可观测，可 控不可观测，不可控不可观测子空间部分。
一般，系统的状态空间可分解为四个子空间：可控可观测， 不可控可观测，可控不可观测，不可控不可观测子空间。
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[例7-6-1]设有系统：
②当传递函数无零极点相消时，线性满秩变换不影响系统的可 控可观测性。
[例7-6-2]系统为：G(s)
sa ，当a1,2,3时，写成
(s1)s(2)s(3)
的动态方程一定是可控可观测的；当 a1,2,3 时，有零极点相
消，动态方程可以写成可控不可观测或不可控可观测两种形式。
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-
s 4 + y(s) +
1 s1
其传递函数为：G(s)y(s) (s1)2 s1 u(s) (s1)s(5) s5
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过程中，分子分母消去了(s-1)，有零、极点相消，其结果是 稳定的。若不相消，则闭环极点为1，-5，显然是不稳定的。这 种相消是否可以呢？
下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图：
0 0 0 0 1 1 1 1
1 2 4 8 0 0 0 0
ranPko 24,所以系统状态不观 完测 全。 可
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使用可控、可观测判据二，可得： （请自行推导） x 1,x2 可x 控 3,x4 不 ， ； 可 x 1,x4 不 控可 x2,观 x3 可测 观， 测
则系统的状态空间可以分解为：
第六节 能控性、能观测性与 传递函数的关系
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用数学模型描述系统，通常有两种描述方法：外部描述
（使用传递函数阵）和内部描述（动态方程，状态空间描述）。
这两种描述是否等价呢？应该说，内部描述比外部描述更深刻。
Kalman指出：两种描述的等价是有条件的，不是绝对等价的。 举下例说明：
5
u(s) 设系统如图：
①可控可观测子空间：x 2 ②可控不可观测子空间：x 1 ③不可控可观测子空间：x 3 ④不可控不可观测子空间：x 4
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用结构图表示如下：
1
u
2
x1
-
s 1
3
x2
-
s 1
1
x3
-
s 1
2
x4
-
s 1
4
x1
x2
+y
x3 +
x4
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根据卡尔曼-吉伯特定理，若用传递函数阵G ( s ) 表示系统时， 只能反映能控能观测部分，来看看是否如此。
u (t )
5
x1
-
s 1
x1
+ y(t)
-
4
+
x 2 s 1 x2
1
状态方程为： x x 1 2 y5 (ux 2 x2x)1 4 ux 1x2x2x1u
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写成矩阵形式： x1 x2
4
1
5 x1 0x2
15u
y 1
1
x1 x2
u
其特征值为1，-5，所以 A 阵可以转化为对角阵。