第2章 数 列(A)(时间:120分钟 满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,如果a n =2 011,则序号n 等于________. 2.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12=________.3.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为________.4.等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项和等于________.5.已知在等差数列{a n }中,首项为23,公差是整数,从第七项开始为负项,则公差为______.6.等比数列{a n }中,a 2,a 6是方程x 2-34x +64=0的两根,则a 4=________. 7.若{a n }是等比数列,其公比是q ,且-a 5,a 4,a 6成等差数列,则q =________. 8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10∶S 5=1∶2,则S 15∶S 5=________. 910.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km ,以后每秒钟通过的路程都增加2 km ,在达到离地面240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒.11.已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1,a 3,a 9成等比数列,则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=________.12.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 取到最大值的n 是________.13.已知数列1,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则56是数列中的第________项.14.等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项的积为T n ,并且满足条件a 1>1,a 99a 100-1>0,a 99-1a 100-1<0.给出下列结论:①0<q <1;②a 99·a 101-1<0;③T 100的值是T n 中最大的;④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是______.(填写所有正确的序号) 二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.(14分)已知{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 6=0. (1)求{a n }的通项公式;(2)若等比数列{b n }满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前n 项和公式.16.(14分)已知等差数列{a n }中,a 3a 7=-16,a 4+a 6=0,求{a n }的前n 项和S n .17.(14分)已知数列{log 2(a n -1)} (n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n<1.18.(16分)在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +2n. (1)设b n =a n2n -1.证明:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }的前n 项和.19.(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=12S n (n =1,2,3,…).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)当b n =log 32(3a n +1)时,求证:数列{1b n b n +1}的前n 项和T n =n1+n.20.(16分)已知数列{a n }的各项均为正数,对任意n ∈N *,它的前n 项和S n 满足S n =16(a n+1)(a n +2),并且a 2,a 4,a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(-1)n +1a n a n +1,T n 为数列{b n }的前n 项和,求T 2n .第2章 数 列(A)答案1.671解析 由2 011=1+3(n -1)解得n =671. 2.15解析 在等差数列{a n }中,a 7+a 9=a 4+a 12,∴a 12=16-1=15. 3.120解析 由a 5=a 2q 3得q =3.∴a 1=a 2q=3,S 4=a 11-q 41-q =31-341-3=120.4.180解析 ∵(a 1+a 2+a 3)+(a 18+a 19+a 20) =(a 1+a 20)+(a 2+a 19)+(a 3+a 18) =3(a 1+a 20)=-24+78=54,∴a 1+a 20=18.∴S 20=20a 1+a 202=180.5.-4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6=23+5d ≥0a 7=23+6d <0,解得-235≤d <-236,∵d ∈Z ,∴d =-4.6.8解析 ∵a 2+a 6=34,a 2·a 6=64,∴a 24=64,∵a 2>0,a 6>0,∴a 4=a 2q 2>0,∴a 4=8. 7.-1或2解析 依题意有2a 4=a 6-a 5,即2a 4=a 4q 2-a 4q ,而a 4≠0, ∴q 2-q -2=0,(q -2)(q +1)=0.∴q =-1或q =2. 8.3∶4解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1,则由S 10S 5=1-q 101-q 5=1+q 5=12⇒q 5=-12,故S 15S 5=1-q 151-q 5=1-q 531-q 5=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1231-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=34. 9.n 2+n解析 由题中数表知:第n 行中的项分别为n,2n,3n ,…,组成一等差数列,所以第n行第n +1列的数是:n 2+n . 10.15解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则数列{a n }是首项a 1=2,公差d =2的等差数列,由求和公式得na 1+n n -1d2=240,即2n +n (n -1)=240,解得n=15. 11.1316解析 因为a 23=a 1·a 9,所以(a 1+2d )2=a 1·(a 1+8d ).所以a 1=d .所以a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=3a 1+10d 3a 1+13d =1316.12.20解析 ∵(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+(a 6-a 5)=3d ,∴99-105=3d .∴d =-2. 又∵a 1+a 3+a 5=3a 1+6d =105,∴a 1=39.∴S n =na 1+n n -12d =-n 2+40n =-(n -20)2+400.∴当n =20时,S n 有最大值. 13.50解析 将数列分为第1组一个,第2组二个,…,第n 组n 个,即⎝ ⎛⎭⎪⎫11,⎝ ⎛⎭⎪⎫12,21,⎝ ⎛⎭⎪⎫13,22,31,…,⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ,2n -1,…,n 1,则第n 组中每个数分子分母的和为n +1,则56为第10组中的第5个,其项数为(1+2+3+…+9)+5=50. 14.①②④解析 ①中,⎩⎪⎨⎪⎧a 99-1a 100-1<0a 99a 100>1a 1>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 99>10<a 100<1⇒q =a 100a 99∈(0,1),∴①正确. ②中,⎩⎪⎨⎪⎧a 99a 101=a 21000<a 100<1⇒a 99·a 101<1,∴②正确. ③中,⎩⎪⎨⎪⎧T 100=T 99·a 1000<a 100<1⇒T 100<T 99,∴③错误.④中,T 198=a 1a 2…a 198=(a 1·a 198)(a 2·a 197)…(a 99·a 100)=(a 99·a 100)99>1,T 199=a 1a 2…a 198·a 199=(a 1a 199)…(a 99·a 101)·a 100=a 199100<1,∴④正确. 15.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3=-6,a 6=0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =-6,a 1+5d =0.解得a 1=-10,d =2.所以a n =-10+(n -1)×2=2n -12. (2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2=a 1+a 2+a 3=-24,b 1=-8, 所以-8q =-24,q =3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n =b 11-q n 1-q=4(1-3n).16.解 设{a n }的公差为d ,则即⎩⎪⎨⎪⎧a 21+8da 1+12d 2=-16,a 1=-4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,d =2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,d =-2.因此S n =-8n +n (n -1)=n (n -9),或S n =8n -n (n -1)=-n (n -9).17.(1)解 设等差数列{log 2(a n -1)}的公差为d . 由a 1=3,a 3=9,得log 2(9-1)=log 2(3-1)+2d ,则d =1. 所以log 2(a n -1)=1+(n -1)×1=n ,即a n =2n+1.(2)证明 因为1a n +1-a n =12n +1-2n =12n ,所以1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n =121+122+123+…+12n =12-12n ×121-12=1-12n <1.18.(1)证明 由已知a n +1=2a n +2n,得b n +1=a n +12n =2a n +2n 2n=a n2n -1+1=b n +1. ∴b n +1-b n =1,又b 1=a 1=1.∴{b n }是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知,b n =n ,a n2n -1=b n =n .∴a n =n ·2n -1.∴S n =1+2·21+3·22+…+n ·2n -1两边乘以2得:2S n =1·21+2·22+…+(n -1)·2n -1+n ·2n,两式相减得:-S n =1+21+22+…+2n -1-n ·2n =2n -1-n ·2n =(1-n )2n-1,∴S n =(n -1)·2n+1.19.(1)解 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a n +1=12S n,a n=12Sn -1(n ≥2),得a n +1=32a n (n ≥2).∴数列{a n }是以a 2为首项,以32为公比的等比数列.又a 2=12S 1=12a 1=12,∴a n =a 2×(32)n -2(n ≥2).∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1, n =1,12×32n -2, n ≥2.(2)证明 b n =log 32(3a n +1)=log 32[32×(32)n -1]=n .∴1b n b n +1=1n 1+n =1n -11+n. ∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+…+1b n b n +1=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -11+n) =1-11+n =n1+n.20.解 (1)∵对任意n ∈N *,有S n =16(a n +1)(a n +2),①∴当n =1时,有S 1=a 1=16(a 1+1)(a 1+2),解得a 1=1或2.当n ≥2时,有S n -1=16(a n -1+1)(a n -1+2).②①-②并整理得(a n +a n -1)(a n -a n -1-3)=0. 而数列{a n }的各项均为正数,∴a n -a n -1=3. 当a 1=1时,a n =1+3(n -1)=3n -2,此时a 24=a 2a 9成立;当a 1=2时,a n =2+3(n -1)=3n -1,此时a 24=a 2a 9不成立,舍去.∴a n =3n -2,n ∈N *. (2)T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5+…-a 2n a 2n +1=a 2(a 1-a 3)+a 4(a 3-a 5)+…+a 2n (a 2n -1-a 2n +1) =-6a 2-6a 4-…-6a 2n =-6(a 2+a 4+…+a 2n )=-6×n 4+6n -22=-18n 2-6n .。