作业： P339 P339 16.1 a. 16.3 e.
当 k > k1时， 系统是稳定的
Im
ω =0
-1
ω=∞
Re
图.16.14
稳定系统的奈奎斯特图
例题 16.1
问题: 如图所示的系统， 画出当K=45时 的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳斯阵 列验证其结果。
R +
⊕
-
C
K
1 ( s + 2)( s + 3)3
Mdb
log10 ω
GM
0db
φ
−1800
PM
log10 ω
图.16.3 增益裕度和相位裕度
系统的型和从伯德图得到 稳态误差
一般开环传递函数
Kb (1+ s / z1 )(1+ s / z2 )L(1+ s / zm ) GH(s) = n s (1+ s / p1 )(1+ s / p2 )L(1+ s / pk )
GM 1 = K1db GM 2 = K 2 db
图.16.11 系统的根轨迹图
单一频率穿越点: 增加相位 考虑下面的例子
(1+ s / 2) GH(s) =
s3
2
相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。 增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。
0.1 40
1
10
100
ω
M db
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM = 54
o
▽ 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
Mdb
-20db/decade
ω
20log10 K v
−1800
log10 ω
ω =1
图.16.5
1型系统的伯德图
Kv的值可以通过测量在ω =1处的增益 来获得。如果其他环节在频率ω =1之前作 用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近 线的延长线求出。
Mdb
-20db/decade
20log10 K v
0
-60
GM=K1(db) -40
-40
-40
φ
0
-90
-180
PM
-270
图16.12
具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图
MATLAB 仿真
(1+ s / 2) GH(s) =
s
3
sys=tf([0.25 1 1],[1 0 0 0]); bode(sys) pause
2
从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定 的。 当k<k1时， 系统是不稳定的； 当k>k1时， 系统是不稳定的。
NdB = 20lg N = 18 N = 7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度 增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
Kc GM = K
GMdB = 20 lg Kc − 20 lg K
Mdb
log10 ω
K3 Kc
φ
K2
K1 －90 －180
－270
Im Im Kc K1 K2 K3 －1 Re Kc K2 K3 K1
ω =∞
Re
图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹
在相位-180°时， K dB 幅值约为 – 18dB， 如果系统不稳定：
0 = −18 + NdB Kc = NK = 0.794
1 = ωn 4 2ς
ς = 0.25
将在以下频率范围内画出伯德图：
0.1 p ω p100
1.25K = 0 dB
画出每一个环节的增益和相位曲线
0.01 40
0.1
1.0
10
ω
M db
20
0
-20
-40
φ
0
-90
-180
-270
图16.2.1
0.01 40
0.1
1.0
10
ω
M db
20
0
3db
线性控制系统工程
第16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度
第16章 伯德图分析 稳定性 章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增Βιβλιοθήκη 裕度和相角裕度M (ω pc)
ωg c
φ(ωg c)
φ(ωg c)
GM =
PM = 180o +φ(ωgc ) GMdb = 20 lg 1
Kc 1 = K M (ωpc ) = −20 lg M (ωpc )
0.01 40
0.1
1.0
10
ω
M db
20
0
K=1
-20
-40
φ
0
-90
-180
-270
图16.8
无相位穿越点的伯德图
MATLAB 仿真
(1+ s) GH(s) = 2 s (1+ s /10)
sys=tf([1 1],[0.2 1 0 0]); bode(sys) pause
用根轨迹来验证：
sys=tf([0.1 1.1 1],[0.00001 0.011 1 0 0 0]); bode(sys) pause
用根轨迹来验证： 在k<k1时， 系统是不稳定的； 在 k1<k<k2时， 系统是稳定的； 在 k>k2时， 系统再次不稳定。
K=K2 Im K=K1 K=1 Re -1000 -100 -10 -1 3 poles
Mdb
-40db/decade
20log10 K a
log10 ω
ω =1
图.16.7 2
型系统的伯德图
进一步讨论增益裕度和相位裕度
相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠 的参数。 无频率穿越点： - 考虑下面的例子 K(1+ s) GH(s) = 2 s (1+ s /10) - 相角绝不会穿过 -180º 线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM=45º处获得， 系统是稳定的。
log10 ω
ω =1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
Kb GH(s) = 2 s
Ka GH( jω) = 2 ( jω)
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
sys=tf([45],[1 8 21 18]); bode(sys) pause
获得最大值 Kmax=NK
11 = 20log10 N → N = 3.55 → K = 45 × 3.55 = 160
用劳斯阵列来验证结果： 特征方程为
( s + 2)( s + 3) 2 + K = s 3 + 8s 2 + 21s + 18 + K = 0
Im
Re -10 -1
图.16.9 系统的根轨迹图
▽ 多个频率穿越点：
考虑下面的例子
K(1+ s)(1+ s /10) GH(s) = 3 s (1+ s /100)(1+ s /1000)
增益穿越频率在ω=1处, 相角裕度为 -45º, 可判断出系统是不稳定的。
• 这里有两个相位穿越频率，分别为ω=3 和ω=300。在每个频率处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。 但相位裕度判断系统的确是不稳定的。
GM=3db
-20
-40
φ
0
-180
-360
PM=60
图16.2.2
二阶环节
频率比=ω/ ωn
频率比=ω/ ωn
增益裕度为 3 dB，相位裕度约为35º。 为了给系统提供一个 60º的相位裕度，幅 值曲线需要下平移约3dB
20 lg NK = KdB + NdB − 3 = 20 lg N N = 0.7 K = 0.7 × 0.8 = 0.56
当ω 趋于 0 时
Kb GH(s) ≈ n s
0型系统
n=0 GH ( s ) = K b
GH ( jω ) = K p
Mdb
20log10 K P
log10 ω
图.16.4
0型系统的伯德图
1型系统 幅值增益
Kb Kb GH ( s ) = = s jω
GH ( jω ) =
Kv
如果k=1 ，那么当ω = 1 时，图形经过 Mdb= 0dB线。
GM = 11 dB
PM = 50
o
0.1 20
1
10
100
ω
M db
GM
0
-20
-40
φ
0
-90
-180
PM
-270
图.SP16.1.2
MATLAB 仿真
45 2.5 GH(s) = = 2 2 (s + 2)(s + 3) 1 1 1+ s 1+ s 2 3
M (ωpc )
条件稳定
• 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。 如果 ′ 20lg K′ = KdB 那么