第七章 相似原理与因次分析7－1 20℃的空气在直径为600 mm 的光滑风管中以8 m/s 的速度运动，现用直径为60 mm 的光滑水管进行模拟试验，为了保证动力相似，水管中的流速应为多大？若在水管中测得压力降为450 mmH 2O ，那么在原型风管中将产生多大的压力降？已已知知：：d a ＝600mm ，u a ＝8m/s ，ρa ＝1.2kg/m 3，νa ＝15.0×10－6m 2/s ，d w ＝60mm ，ρw ＝998.2kg/m 3，νw ＝1.0×10－6m 2/s ；Δp w ＝450mmH 2O 。

解析：(1) 根据粘性力相似，有Re w ＝Re a ，即 www aaa ννd u d u =则水管中的流速应为m/s 33.5)100.15100.1)(60600(8))((66a w w a a w =⨯⨯⨯==--ννd d u u (2) 根据压力相似，有Eu a ＝Eu w ，即 2ww w2a a a u p u p ρ∆ρ∆= 则在原型风管中将产生的压力降为 Pa 95.1181.9450)33.58)(2.9982.1())((2w 2w a w a a =⨯⨯=∆=∆p u u p ρρ 7－2 用20℃的空气进行烟气余热回收装置的冷态模型试验，几何相似倍数为1/5，已知实际装置中烟气的运动粘度为248×10－6m 2/s ，流速为2.5m/s ，问模型中空气流速为多大时，才能保证流动相似？已已知知：：l C ＝1/5，ν＝248×10－6m 2/s ，νm ＝15×10－6m 2/s ，u ＝2.5m/s 。

解析：根据雷诺数相等，即mmm ννd u du =，得m/s 76.05.2)102481015(5))((66m m m =⨯⨯⨯⨯==--u d d u νν 只有模型中空气的流速为0.76m/s 时，才能保证流动相似。

7－3 用直径为25mm 的水管模拟输油管道，已知输油管直径500mm ，管长100m ，输油量为0.1m 3/s ，油的运动粘度为150×10－6m 2/s ，水的运动粘度为1.0×10－6m 2/s ，试求：(1) 模型管道的长度和模型的流量；(2) 若在模型上测得压差为2.5cm 水柱，输油管上的压差是多少？已已知知：：d ＝500mm ，d m ＝25mm ，l ＝100m ，Q ＝0.1m 3/s ，ν＝150×10－6m 2/s ，νm ＝1.0×10－6m 2/s ；(Δp/γ)m ＝2.5cmH 2O 。

解析：(1) 根据几何相似mm l ld d =，得 m 0.510050025)(m m =⨯==l d d l (2) 由雷诺数相等，即mmm ννd u d u =，或mm m d Q d Qνν=，得 /s m 1033.31.010150100.150025))((3566m m m ---⨯=⨯⨯⨯⨯==Q d d Q νν (3) 由欧拉数相等，即2m m m 2u p u p ρ∆ρ∆=，注意到24d Q u π=，可写成 2mm 4m m 24Q d p Q pd γ∆γ∆=，则O mH 41.1025.0)50025()1033.31.0()()(2425m m 4m 2m =⨯⨯==-γ∆γ∆p d d Q Q p 7－4 用同一管路通过空气进行水管阀门的局部阻力系数测定，水和空气的温度均为20℃，管路直径为50mm ，水速为2.5m/s 时，风速应为多大？通过空气时测得的压差应扩大多少倍方可与通过水时的压差相同？已已知知：：d ＝d m ＝50mm ，u ＝2.5m/s ，ρ＝1000kg/m 3，ρm ＝1.2kg/m 3，ν＝1.0×10－6m 2/s ，νm ＝νa ＝15×10－6m 2/s 。

解析：(1) 为保证粘性力相似，雷诺数必定相等，即mmm ννd u du =，得m/s 5.375.2)100.11015(1))((66m m m =⨯⨯⨯⨯==--u d d u νν (2) 根据欧拉数相等，即2mm m 2u p u pρ∆ρ∆=，得27.0)5.25.37)(10002.1())((22m m m===u u pΔp ρρ∆ 那么 7.327.01==n 倍 即通过空气时测得的压差应扩大3.7倍，方可与通过水时的压差相同。

7－5 为研究输水管道上直径600mm 阀门的阻力特性，采用直径300mm ，几何相似的阀门用气流做模型实验，已知输水管道的流量为0.283m 3/s ，水的运动粘度为1.0×10－6m 2/s ，空气的运动粘度为15×10－6m 2/s ，试求模型中空气的流量。

已已知知：：d ＝600mm ，d m ＝300mm ，Q ＝0.283m 3/s ，ν＝1.0×10－6m 2/s ，νm ＝νa ＝15×10－6m 2/s 。

解析：为了保证动力相似，雷诺数必定相等，即mmm ννd u du =，或写成mm m d Q d Qνν=。

由此得到 /s m 12.2283.0)100.11015)(600300())((366m m m =⨯⨯⨯==--Q d d Q νν 7－6 为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，当风速为8m/s 时，测得迎风面压力为40N/m 2，背风面压力为－24N/m 2。

若温度不变，风速增至10m/s 时，迎风面和背风面的压力将为多少？已已知知：：u 1＝8m/s ，u 2＝10m/s ，ρ1＝ρ2，p 1，迎＝40N/m 2，p 1，背＝－24N/m 2。

解析：根据欧拉准数相等，即22222111u p u p ρρ=，得 221212122N /m 5.6240)810(1))((=⨯⨯==，迎，迎p u u p ρρ 221212122N /m 5.37)24()810(1))((-=-⨯⨯==，背，背p u u p ρρ 7－7 已知汽车高为1.5m ，行车速度为108km/h ，拟在风洞中进行动力特性实验，风洞风速为45m/s ，测得模型车的阻力为1.50kN ，试求模型车的高度以及原型车受到的阻力。

已已知知：：h ＝1.5m ，u ＝108km/h ＝30m/s ，u m ＝45m/s ，ρ＝ρm ，ν＝νm ，F m ＝1.50kN 。

解析：(1) 根据雷诺数相等，即mmm ννh u hu =，得m 0.15.11)4530())((m m m =⨯⨯==h u u h νν (2) 根据牛顿准数相等，即2m2m m m 22h u F h u Fρρ=，得 kN 50.150.1)0.15.1()4530(1)())((222m 2m m =⨯⨯⨯==F h h u u F ρρ 7－8 直径为0.3m 的管道中水的流速为1.0m/s ，某段压降为70kN/m 2，现用几何相似倍数为1/3的小型风管作模型试验，空气和水的温度均为20℃，两管流动均在水力光滑区。

求：(1)模型中的风速；(2)模型相应管段的压力降。

已已知知：：l C ＝1/3，d ＝0.3m ，u ＝1.0m/s ，Δp ＝70kN/m 2，ρ＝1000kg/m 3，ρm ＝1.20kg/m 3，ν＝1.0×10－6m 2/s ，νm ＝15×10－6m 2/s 。

解析：(1) 根据雷诺数相等，即mmm ννd u du =，得m/s 450.1)100.11015(3))((66m m m =⨯⨯⨯⨯==--u d d u νν (2) 根据欧拉准数相等，即2mm m 2u p u pρ∆ρ∆=，得222m m m k N /m 1.17070)0.145()10002.1())((=⨯⨯==p u u p ∆ρρ∆ 7－9 模型水管的出口喷嘴直径为50mm ，喷射流量为15L/s ，模型喷嘴的受力为100N ，对于直径扩大10倍的原型风管喷嘴，在流量10000m 3/h 时，其受力值为多少？设水和空气的温度均为20℃。

已已知知：：l C ＝1/10，d m ＝50mm ，Q m ＝15L/s ，Q ＝10000m 3/h ，ρm ＝1000kg/m 3，ρ＝1.20kg/m 3，νm ＝1.0×10－6m 2/s ，ν＝15×10－6m 2/s ，F m ＝100N 。

解析：根据牛顿准数相等，即2m 2m m m 22d u F d u F ρρ=，注意到24d Q u π=，则有2mm 2mm 22Q d F Q Fd ρρ=。

由此可得到 N 2.41100)501050()1015360010000)(10002.1()())((223m 2m 2m m =⨯⨯⨯⨯⨯==-F d d Q Q F ρρ 7－10 防浪堤模型实验，几何相似倍数为1/40，测得浪的压力为130N ，试求作用在原型防浪堤上浪的压力。

已已知知：：l C ＝1/40，F m ＝130N 。

解析：将牛顿准数Ne 与付鲁德准数Fr 进行组合，得 3222Fr Ne lg F l g u l u F ρρ== 由组合后的准数相等，即3mm m 3l g F l g F ρρ=，得 kN 8320130401))((3m 3mm =⨯⨯==F l l F ρρ 7－11 贮水池放水模型实验，已知模型几何相似倍数为1/225，开闸后10min 水全部放空，试求放空贮水池所需时间。

已已知知：：l C ＝1/225，τm ＝10min 。

解析：将斯特罗哈准数St 与付鲁德准数Fr 进行组合，得 l g glu l u 2222/)/(Fr St ττ==由组合后的准数相等，即 m2m2l g l g ττ=，得 m i n 15010225/m m =⨯==ττl l7－12 溢水堰模型的几何相似倍数为1/20，模型中流量为300L/s ，堰所受推力为300N ，试求原型堰的流量和所受的推力。

已已知知：：l C ＝1/20，ρm ＝ρ，Q m ＝300L/s ，F m ＝300N 。

解析：(1) 根据付鲁德准数相等，即m 2m 2l g u l g u =，注意到A Q u =，则有5m2m52l g Q l g Q =。

由此可得 /s m 7.5363.020)(225m 25m=⨯==Q l lQ(2) 将牛顿准数Ne 与付鲁德准数Fr 进行组合，得 3222Fr Ne lg Fl g u l u F ρρ== 根据组合后的准数相等，即3mm m 3l g F l g F ρρ=，得 kN 2400N 104.2300201))((63m 3mm =⨯=⨯⨯==F l l F ρρ 7－13 油池通过直径d ＝250mm 的管路输送Q ＝140L/s 的石油，油的粘度为75×10－6m 2/s ，现在几何相似倍数为1/5的模型中研究避免油面发生旋涡而卷入空气的最小油深h min ，试验应保证Re 数和Fr 数都相等。