⑴函数的定义①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。

②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。

⑵函数的理解：①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即“任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性)③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。

④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。

英中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。

探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。

而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。

例题：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。

点评：要判断两个变量是否有函数关系，只要看他们是否具备以下两点：①看定义域与对应 法则是否给出；②看根据给出的对应法则，自变量X 在定义域中任収一个值，是否都能确定 唯一的函数值y 。

例题判断下列关系式能否确定y 是x 的函数。

点评：判断一个式子能否确定y 是x 的隊|数，关键看使式子有意义的x 的值是否可以确定唯 一的y 值与之对应，x 不存在或y 值不唯一均不能确定函数y 是x 的函数。

例题：若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“李生函 数函数解析式为y = 2/ + l,值域为｛3, 1, 9｝的李生函数共有（）个。

A 、9B 、8C 、12 例2,（1）给出下列各组函数：① f （X ）二 J （兀-I ），,g （X ）=X-l ； _______________ I --------------- / Y 2 _ 1 J 兀2 _ 1®f(X)= (VX -I)2 ,g(X)= y](X-l)2 ；④ f(X)二彳：+ ] ,g(X)二 •哪几组的两个函数为相同的函数？它们的序号为 ______________ 区间及其表示：区间是数轴上某一线段或者射线或者直线上的点所对应的实数的取值集合的又一种符号语 言，即用端点所对应的数、“*8”（正无穷大）、“-8”（负无穷大）、方括号（包含端点）、 小圆括号（不含端点）等符号来表示。

注意：区间实质上是一类特殊数集（部分实数组成的集合）的符号表示，因此我们在解题时 必须把它与集合同等对待。

例题：将下面的集合用区间表示出来：{x x< 1} = __________________ {兀 兀n5} = _________________ [x 2<x<5] = _____________________ {x x = 1 或兀>6} = ____________________________________ {x 2<x<5或x = 3} = ____________ 点评：由于区间是集合的一种符号语言，因此区间与区间Z 间，以及区间与集合之间可用集 合的运算符号来连接和运算。

映射⑴映射 设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系/,对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B,以及集合A 到集合B 的对 应关系/）叫做集合A 到集合B 的映射，记作注意：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即① 映射的三要素：原彖、象、对应关系② A 中元素不可剩，B 中元素可剩③ 多对一行，一对多不行① \fx + Jy +1 = 1l （x 是有理数）0（兀是无理数） D 、4②f(X)二_1 ,g(x)=丿兀 + 1 ■ Vx -1 ;④映射具有方向性：f:A^B与/:B T A—般是不同的映射⑵映射与函数的关系①联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义的)的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此反过来，要善于用映射的语言來叙述函数的问题。

②区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集。

例题：例下列对应是不是从A到B的映射？(1)A=Q, B=Q+, f： x— I x I .(2)A = B = N： f:x- I x-2 I .(3)A= {xWN I x22}, B= {yez I yMO}, f:x->y = x2-2x+l.(4)A= {x I xG(0, +8)}, B= {y I yWR}, f:x~*y= ±.解：(1)中，当x=0e A吋，lxl=OGB,即A中的元素0在B中没有象，故(1)不是映射.(2)中,当x=2WA时,I x-2 I =0^B,与⑴类似,(2)也不是映射.(3)中，因为y = (x・l)G(),所以对任意x,总有y$0；又当x^N时，x、2x+l必为整数, 即yW乙所以当xWA时，x2-2x+ieB,且对A中每一个元素x,在B屮都有唯一的y与之对应，故(3)是映射.(4)中，任一个x都有两个y与之对应，故不是映射.评析判断某对应是否为映射，严格按照映射定义中所要求的条件进行判断.本题中的对应关系都能用解析式来表示，如y = \+—等，是否所有映射的对应关系都能用解析式来表示呢？不一定，如映射A = {某校高二(2)班学生},B = {正实数}, /:学生T年龄.其对应关系就无法用一个解析式来表示。

例若A= {(x,y) I xE乙I x 丨V2, yWN, x+y<3}, B= {0, 1, 2},从A 到B 的对应关系f(x,y)~x+y,说明f是A到B的映射，并画111对应图，指出2的原象是什么？解：满足条件的集合A中的元素共有六个，用列举法表示为{(-1, 2), (-1, 3), (-1, 1), (0, 1), (0, 2), (1, 1)}.对应图为下图.・・•集合A屮的每一元素，集合B屮都有唯一的元素与它对应，所以f能构成一个映射.2的原象为(・1, 3), (0, 2), (1, 1).例已知集合A= {1,2,3,a}, B= {4,7,b4,b2+3b},其中a^N*, b^N*.若x^A, y^B, 映射f:A-*B使B 中元素y = 3x+l和A中元素x对应.求a和b的值.分析利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组.解：TA中元素x对应B中元素y=3x+l,・・・A中元素1的象是4, 2的象是7, 3的象是10.Z.b4=10,或b2+3b=10.又beN\/.b2+3b-10=0,解之，得b二2.Ta的象是b4=16,・・・3a+l = 16,解之，得a二5.评析正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题之关键.如果将题设屮的集合B换成{4,7,13,b4,b2+3b},那么请问a的值是多少？巩固练习：1.已知映射f： A-B,其中A二B二R,对应法则为.f:xTy = x2+2x + 3.若实数keB,在集合A中不存在原象，则k的取值范围是( )A、(一8, 0)B、［2, +8)C、(—8, 2)D、(3, +2点评：对形成映射的集合A、B,抓住映射概念内涵屮“取元任意性，成象唯一性”，B屮可以存在没有原彖的元素，但A中元素必然都有原象且唯一。

例判断下列映射是不是从A到B的一一映射，并说明理由.(1)A= {矩形}, B = R,对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2)A = R, B = R,对应法则 f :x—y = kx+b (kHO)・1+ x(3)A= {x I xWR,且xHl}, B = R,对应法则f:x~y=l-兀.(4)A = R, B= {ylyMO},对应法则f:x->y = x2・分析一一映射是一种特殊的映射•特殊在哪里?函数定义域的求法⑴当函数是解析式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。

具体地讲，就是考虑①分母不为零，②偶次根式，被开方数$0,零次幕底数H0,以及后面遇到的所有有意义的限制条件都是考虑的对象。

⑵当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

⑶求函数的定义域，一般是转化为解不等式或解不等式组的问题，但要注意逻辑连接词的运用；注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中的不同之处) 例题：求下列函数的定义域5/27+1y = yjx- l - A/X+1/ (x)=, =yj—x" — 2x + 3注意：⑴有函数解析式对意义来求定义域吋，不能对英解析式变形，如上列。

⑵注意定义域的逆向问题例题：函数y =』2-6kx + 9的定义域是R,则k的取值范围是()A. kWO 或kMl Bk$l C.OWkWl D.OVkWl点评：此题意思是在实数域内恒成立的问题，也就是说对于任意的自变量函数解析式都有意义。

⑶当已知函数/(X)的定义域时，要求/(g(Q)的定义域，则一方面g(x)本身要有意义，另一方面g (兀)只能在/(兀)地定义域内取值才有意义。

例题：已知函数/⑴ 的定义域为[0,3],求/(依+1)的定义域。

已知函数/(x)的定义域为[0,3],求g(兀)= /(依) + /(#)的定义域。