性质 10.3.4（保号性）如果在 上， f ( x, y, z) 0 ，则
f ( x, y, z)dV 0 ．

8-5
推论 10.3.1（保序性）如果在 上， f ( x, y, z) g ( x, y, z) ，则
f ( x, y, z)dV g ( x, y, z)dV ．
⑵ 如果 关于 yOz 平面对称， 1 为 在 yOz 平面前侧的部分区域，则


0, 如果f ( x, y, z )在D上关于x为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于x为偶函数. 1
f ( , , )V ．
i 1 n i i i i
n
记 max{di }， 如果极限 lim f (i ,i , i ) Vi 存在， 且此极限值与 的分法，
1i n
0
i 1
以及每个小空间区域 Vi 中上点 (i ,i , i ) 的取法都无关，就称此极限值为
⑴ 如果 关于 xOy 平面对称， 1 为 在 xOy 平面上侧的部分区域，则


0, 如果f ( x, y, z )在D上关于z为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于z为偶函数. 1
1 2 1 2
性质 10.3.2（依区域可加性）如果 1 2 ，且 1 与 2 无公共内点，则
f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dV ．
1 2
性质 10.3.3（几何度量性） dV 的体积．


定理 10.3.2（三重积分的轮换对称性）设 为空间有界闭区域，
⑴ 如果 关于平面 y x 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( y, x, z )dV ．

⑵ 如果 关于平面 x z 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( z, y, x)dV ．

性质 10.3.6（三重积分中值定理）设 f ( x, y, z) 在空间有界闭区域 上连续，
V 是 的体积，则在 上至少存在一点 ( ,, ) ，使得
f ( x, y, z)dV f ( , , )V ．

8-6
定理 10.3.1（三重积分的奇偶对称性）设 为空间有界闭区域，
10.3 三重积分的概念与性质
10.3.1 10.3.2 10.3.3 三重积分概念的实际背景 三重积分的概念 三重积分的性质
8-1
10.3.1 三重积分概念的实际背景
物理背景——空间立体状物体的质量
设有一空间立体状物体，占有空间区域 ，已知物体的体密度 ( x, y, z) 是 上的连续函数，求该物体的质量 M．
0, 如果f ( x, y, z )在D上关于y为奇函数, f ( x, y, z )dV 2 f ( x, y, z )dV , 如果f ( x, y, z )在D上关于y为偶函数. 1
8-7
⑶ 如果 关于 zOx 平面对称， 1 为 在 zOx 平面右侧的部分区域，则
类似于平面薄片质量的求法，把空间区域 任意分成 n 个小空间区域
V1, V2 ,, Vn ．
每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ，且 Vi 的直径记为 di ．在Vi 上任取 一点 (i ,i , i ) ， 则 Vi 上的物体质量近似地等于 (i ,i , i )Vi (i 1,2,, n) ， 因此物体的质量 M 近似等于 (i ,i , i ) Vi ，记 max{di } ，所以该物体

⑶ 如果 关于平面 z y 对称，则 f ( x, y, z )dV f ( x, z, y)dV ．

例如，设 为椭球体 x2 y 2 4 z 2 1．由于在 x2 y 2 4 z 2 1中，将变量
x 与 y 互换后， 的表示没有发生变化；而将变量 x 与 z 互换后，变为
4 x2 y 2 z 2 1，发生了变化，因此由三重积分轮换对称性可得
2 2 2 2 x d V y d V x d V z ，而 与 dV 未必相等．
8-8
f ( x, y, z) 在 上的三重积分，记作 f ( x, y, z )dV .

8-3
（续定义）
f ( , , )V ， f ( x, y, z)dV lim
0 i 1 i i i i
n
其中 f ( x, y, z) 称为被积函数； f ( x, y, z)dV 称为被积表达式；dV 称为体积 元素； x, y, z 称为积分变量； 称为积分区域； 称为三重积分号；
f ( , , )V 称为积分和．
i 1 i i i i
n
注 1：空间物体的质量为
M ( x, y, z )dV ．

注 2：当 f ( x, y, z) 在空间有界闭区域 上连续时， f ( x, y, z )dV 存在．

注 3：与二重积分类似，体积元素 dV dxdydz ．dxdydz 称为直角坐标系中 的体积元素．从而
f ( x, y, z)dV = f ( x, y, z)dxdydz ．

8-4
10.3.3 三重积分的性质
以下性质中， 为空间有界闭区域，且所涉及的三重积分均存在．
性质 10.3.1（线性性）设 k1, k2 为常数，则
[k f ( x, y, z) k g ( x, y, z)]dV k f ( x, y, z)dV k g ( x, y, z)dV .
i 1 n
1i n
的质量为
M lim (i ,i , i )Vi ．
0
i 1
n8-210.3. Nhomakorabea 三重积分的概念
定义 10.3.1 设 f ( x, y, z) 是空间有界闭区域 上的有界函数，将 任意分割 为 n 个小空间区域 V1, V2 ,, Vn ．每个小空间区域 Vi 的体积也记为 Vi ， 且 Vi 的直径记为 di ，在 Vi 上任取一点 (i ,i , i ) (i 1,2,, n) ，作和

推论 10.3.2（积分绝对值不等式）
f ( x, y, z)dV | f ( x, y, z) | dV ．

性质 10.3.5（估值定理）设 f ( x, y, z) 在 上有最大值 M 和最小值m ，V 是 的体积，则
mV f ( x, y, z )dV MV ．