第七章相关与回归分析学习内容一、变量间的相关关系二、一元线性回归三、线性回归方程拟合优度的测定学习目标1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二3. 掌握回归方程的显著性检验4. 利用回归方程进行预测5. 了解可化为线性回归的曲线回归6. 用Excel 进行回归分析一、变量间的相关关系1. 变量间的关系（函数关系）1)是一一对应的确定关系。

2)设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y 是x的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量。

3)各观测点落在一条线上。

4）函数关系的例子–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。

–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。

–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表示为y =x1 x2 x3。

单选题下面的函数关系是（）A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系B、圆周的长度决定于它的半径C、家庭的收入和消费的关系D、数学成绩与统计学成绩的关系2. 变量间的关系（相关关系）1)变量间关系不能用函数关系精确表达。

2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。

3)当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。

4)各观测点分布在直线周围。

5）相关关系的例子–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。

–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。

–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。

–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。

–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。

3. 相关图表1)相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的相互关系。

2)相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x，纵轴代表因变量y。

4. 相关关系的类型相关关系的图示（散点图）5. 相关关系的测度（相关系数）1)对变量之间关系密切程度的度量。

2)对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数。

3)若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为ρ。

4)若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r。

样本相关系数的计算公式化简为相关系数取值及其意义a)r 的取值范围是 [-1,1]。

|r|=1，为完全相关。

(r =1，为完全正相关。

r =-1，为完全负相关。

)b)r = 0，不存在线性相关关系。

c)-1<r<0，为负相关。

d)0<r<1，为正相关。

e) |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切。

单选题①下列哪两个变量之间的相关程度高（）– A、商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9– B、商品销售额和商业利润率的相关系数是0.84– C、平均流通费用率与商业利润率的相关系数是0.94– D、商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91②下列关系中，属于正相关关系的有（）– A、合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系– B、产品产量与单位产品成本之间的关系– C、商品的流通费用与销售利润之间的关系– D、流通费用率与商品销售量之间的关系③变量之间的相关程度越低，则相关系数值（）A、越小B、越接近于0C、越接近于-1D、越接近于1④已知Σ(X-X¯)2是Σ(Y-Y¯)2的两倍，并已知Σ(X-X¯) (Y-Y¯)是Σ(Y-Y¯)2的1.2倍，则相关系数r为（）A、不能计算B、0.6C、1.2/D、多选题变量之间的不完全相关可以表现为（）A、零相关B、正相关C、负相关D、曲线相关E、相关系数为1求X与Y的相关系数二、一元线性回归1. 什么是回归分析？（内容）1)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式。

2)对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著。

3)利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度。

回归分析与相关分析的区别1)相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化。

2)相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量。

3)相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

多选题线性相关分析的特点表现为（）– A、两个变量之间的地位是对等关系– B、只能算出一个相关系数– C、相关系数有正负号– D、相关的两个变量必须都是随机变量– E、不反映任何自变量和因变量的关系回归模型的类型2. 一元线性回归1)涉及一个自变量的回归。

2)因变量y与自变量x之间为线性关系。

–被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示。

–用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量，用x表示。

3)因变量与自变量之间的关系用一条线性方程来表示。

3. 一元线性回归模型（概念要点）1)当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归。

2)对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系。

3)描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项ε的方程称为回归模型。

4）一元线性回归模型可表示为： y =（a+bx）+ ε◆y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项。

◆线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化。

◆误差项ε是随机变量,反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对y 的影响，不能由 x 和 y之间的线性关系所解释的变异性。

◆a和 b称为模型的参数。

5）基本假定◆误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。

◆对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = a+ b x。

◆对于所有的 x 值，ε的方差σ2都相同。

◆误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即ε~N( 0 ,σ2 )。

–独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关。

–对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x所对应的 y 值也不相关。

4. 回归方程1)描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程。

2)一元线性回归方程的形式如下： E( y ) =β0+ β1x–方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程。

–β0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值。

–β1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。

5. 估计（经验）回归方程1)总体回归参数β0和β1都是未知的，必须利用样本数据去估计。

2)用样本统计量a和b代替回归方程中的未知参数β0和β1，就得到了估计的回归方程。

3)简单线性回归中估计的回归方程为：yˆ = a + bx单选题劳动消耗和产量之间的回归方程为Y=18+2.1X，这意味着劳动消耗每增加一单位时，产量增加的单位为（）A、8B、2.1C、20.1D、2.1%6. 参数a和b的最小二乘估计一元回归方程数值试验1)使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得a和b的方法。

即：2)用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小。

3)根据最小二乘法的要求，可得求解a和b的标准方程如上图。

参数a和b的最小二乘估计（例题）某从事饮食业的企业家认为高校后勤社会化是一个很好的投资机会，他得到10组高校人数与周边饭店季营业额的数据资料，并想根据数据决策其投资规模。

7. 回归系数与相关系数的关系b-回归系数 r-相关系数单选题在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为（）A、8B、0.32C、2D、 12.5多选题①相关系数与回归系数（）- A、回归系数大于零则相关系数大于零- B、回归系数小于零则相关系数小于零- C、回归系数大于零则相关系数小于零- D、回归系数小于零则相关系数大于零- E、回归系数等于零则相关系数等于零②直线回归方程y=a+bx 中的b 称为回归系数,回归系数的作用是（）– A、可确定两变量之间因果的数量关系– B、可确定两变量的相关方向– C、可确定两变量相关的密切程度– D、可确定因变量的实际值与估计值的变异程度– E、可确定当自变量增加一个单位时,因变量的平均增加量三、线性回归方程拟合优度的测定1. 离差平方和的分解1)因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。

变差来源于两个方面：-由于自变量 x 的取值不同造成的。

-除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响。

2)对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 y − y来表示。

图解三个平方和的关系三个平方和的意义1)总平方和(SST)总偏差-反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差。

2)回归平方和(SSR)回归偏差-反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与y 之间的线性关系引起的 y的取值变化，也称为可解释的平方和。

3)残差平方和(SSE)剩余偏差-反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和。

-2. 判定系数r21)回归平方和占总离差平方和的比例。

2)反映回归直线的拟合程度。

3)取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间。

4)r2 →1，说明回归方程拟合的越好；r2→0，说明回归方程拟合的越差。

5)判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2。

r2等于多少？3. 估计标准误差 S yx1)实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根。

2)反映实际观察值在回归直线周围的分散状况。

3)从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。

4)计算公式为：S yx越小，拟合越好；S yx越大，拟合越差。

5）相关系数与估计标准误差在数量上具有以下关系：r值与估计标准误差负相关。

单选题①回归估计的估计标准误差的计量单位与（）– A、自变量相同– B、因变量相同– C、自变量及因变量相同– D、相关系数相同②计算估计标准误差的依据是（）– A、因变量的总变差– B、因变量的回归变差– C、因变量的剩余变差– D、因变量数列多选题估计标准误差是反映（）– A、回归方程代表性大小的指标– B、估计值与实际值平均误差程度的指标– C、自变量与因变量离差程度的指标– D、因变量估计值的可靠程度的指标– E、回归方程适用价值大小的指标判断题①回归系数b和相关系数r都可用来判断现象之间相关的密切程度。