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投资的收益和风险问题线性规划分析

投资的收益和风险问题线性规划分析
1问题的提出
市场上有n 种资产(如股票、债券、…)S i(i=1,…,n)供投资者选择,某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为r i,并预测出购买S i的风险损失率为q i.考虑到投资越分散、总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量.
购买S i要付交易费,费率为p i,并且当购买额不超过给定值u i时,交易费按购买u i计算(不买当然无须付费). 另外,假定同期银行存款利率是r0,且既无交易费又无风险. (r0=5%)
已知n=4 时的相关数据如下:
n的相关数据
试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M ,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.
2模型的建立
模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量,假设投资的风险水平是 k ,即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内:Q(x) ≤k 则模型可转化为:
()
()()max s.t.?,,0
R x Q x k F x M x ≤≥ = 
模型2. 假设投资的盈利水平是 h ,即要求净收益总额 R (x )不少于 h :R (x )
≥h ,则模型可转化为:
()
()()min s.t.0
Q x R x h F x M x ≥≥ =
模型 3.要使收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型。

人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此,假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ(≥0),则模型可转化为:
()()() min ?1? s.t .0
Q x R x F x M x ρρ≥()=
3. 模型的化简与求解
由于交易费 c i (x i )是分段函数,使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂,是一个非线性规划问题,难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大,一旦投资资产 S i ,其投资额 x i 一般都会超过 u i ,于是交易费 c i (x i )可简化为线性
函数
().i i i i c x p x =从而,资金约束简化为
()()(1)n
n
i i i i i i F f x p x M
====+=∑∑x
净收益总额简化为
()()[()]()n
n
n
i i i i i i i i i
i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x
在实际进行计算时,可设 M=1,此时
101i i i y p x i n =+⋯()(= ,,,)
可视作投资 S i 的比例.
以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的. 1)模型 1 的求解
模型1的约束条件Q(x) ≤k 即
00()max ()max()i i i i i n
i n
Q Q x q x ≤≤≤≤==x k ≤,
所以此约束条件可转化为
01i i q x k i n ≤⋯ (=,,,)
这时模型 1可化简为如下的线性规划问题:
max ()s.t. , =1, 2,
, (1)1, 0
n
i i i
i i i n
i
i
i r p x q x k i n p x
==-≤+=≥∑∑x
具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据,模型为:
Max 0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4
s.t. 0.025x 1≤k ,0.015x 2≤k ,0.055x 3≤k ,0.026x 4≤k ,
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1,x i ≥0(i =0,1, (4)
利用MATLAB7.0求解模型1,以 k=0.005 为例: 输出结果是
{0.177638, {x 0 → 0.158192, x 1 → 0.2,x 2 → 0.333333, x 3 → 0.0909091,x 4 → 0.192308}}
这说明投资方案为(0.158192,0.2,0.333333,0.0909091,0.192308)时,可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.
当 k 取不同的值(0—0.03),风险与收益的关系见下图:
0.05
0.10.150.2
0.25
0.3
风险 a
收益
模型1风险与收益的关系图
输出结果列表如下:
模型 1 的结果
从表3.2中的计算结果可以看出,对低风险水平,除了存入银行外,投资首选风险率最低的S2,然后是S1和S4,总收益较低;对高风险水平,总收益较高,投资方向是选择净收益率(r i–p i)较大的S1和S2.这些与人们的经验是一致的,这里给出了定量的结果.
2)模型2 的求解
模型2 本来是极小极大规划:
0min max()
i i i n
q x ≤≤
s.t.
()n
i
i
i
i r p x
=-∑ h ≥
(1)1n
i
i
i p x
=+=∑ 0x ≥
但是,可以引进变量 x n+1= 0max()i i i n
q x ≤≤,将它改写为如下的线性规划:
1min()n x +
s.t. 10,1,2,,,i i n q x x i n +≤=⋯,
()n
i
i
i
i r p x
=-∑, h ≥
(1)1n
i
i
i p x
=+=∑, 0x ≥
具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题中表3.1给定的数据,模型为: Min x 5
s.t. 0.025x 1≤x 5,0.015x 2≤x 5,0.055x 3≤x 5,0.026x 4≤x 5,
0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4≥h ,
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1,x i ≥0(i =0,1, (5)
利用MATLAB7.0求解模型2,当 h 取不同的值(0.04—0.26),我们计算最小风险和最优决策,结果如表3所示,风险和收益的关系见图2所示
风险
收益
图2 模型2中风险与收益的关系图
表3 模型 2 的结果
从表3.3中我们可以推出和模型 1 类似的结果. 3)模型3 的求解
类似模型2 的求解,我们同样引进变量 x n+1= 0max()i i i n
q x ≤≤,将它改写为如下
的线性规划:
min 1n x ρ+ -(1 –ρ)
()n
i
i
i
i r p x
=-∑
s.t. 1012i i n q x x i n +≤=⋯,,,,, 
(1)1n
i
i
i p x
=+=∑ 0x ≥
具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题表3.1给定的数据,模型为: min ρx 5–(1–ρ)(0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4) s.t. 0.025x 1≤x 5,0.015x 2≤x 5,0.055x 3≤x 5,0.026x 4≤x 5,
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1,
x i≥0(i=0,1, (5)
利用MATLAB7.0求解模型3,当ρ取不同的值(0.7—0.98),我们计算最小风险和最优决策,风险和收益的关系见图3
输出结果列表如下:
表4 模型3 的结果
结论:从表4 的结果可以看出,随着偏好系数ρ的增加,也就是对风险的日益重视,投资方案的总体风险会大大降低,资金会从净收益率(r i–p i)较大
的项目S
1
、S 2、S 4,转向无风险的项目银行存款. 这和模型 a 的结果是一致的,也符
合人们日常的经验.
图3 模型3中风险与收益的关系图
结论:模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。

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0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.08
0.10.120.140.160.180.20.220.240.260.28??
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