函数专题（二） 函数的性质
（一）函数的单调性与最值
★知识梳理
1.函数的单调性定义：
设函数的定义域为，区间
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有
，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增
区间
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说
在区间上是单调减函数，称为的单调减区间
2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为
的最大值；
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为
的最小值。

★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性
【例】试用函数单调性的定义判断函数2
()1
f x x =
-在区间（1，+∞）上的单调性.
【巩固练习】证明：函数2()1
x
f x x =
-在区间（0，1）上的单调递减.
)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =
考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间：
（1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++.
2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.
【巩固练习】
1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.
A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞
2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.
A. y =－x +1
B. y
C. y = x 2－4x ＋5
D. y =
2x
3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么
f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .
4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.
5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.
考点3 函数的最值
【例】求函数253
32,[,]22
y x x x =--∈-的最大值和最小值：
【巩固练习】
1．函数4
2
y x =-在区间 []3,6上的最小值是___________.
2. 23
()1,[0,]2
f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.
A. 有最大值34，但无最小值
B. 有最小值3
4
，有最大值1
C. 有最小值1，有最大值19
4
D. 无最大值，也无最小值
3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.
4. 已知函数322
+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.
(二)函数的奇偶性
★知识梳理
1．函数的奇偶性的定义：
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） ★热点考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性
【例】判断下列函数的奇偶性：
（1）31
()f x x x
=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.
)(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f y
考点2 函数的奇偶性综合应用
【例1】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1
()()1
f x
g x x -=+，求()f x 、()g x .
【例2】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.
【例3】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数。

试判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并给予证明。

【巩固练习】
1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（ ）.
A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
2.若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－1
3.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．；
B ．；
C ．；
D ．
4. 设是上的奇函数，，当时，，则为
5．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .
6.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-。

求函数()f x 的解析式。

（三）周期性：
若）（x f T x f =+)(，周期为T （非零）；
周期为2T 的有)()(T x f T x f -=+；)()(x f T x f -=+；)()(x f T x f -=+，且)
(x f 为奇函数；)(1)(x f T x f =
+；)
(1)(x f T x f -=+； ()f x (,1)-∞-3()(1)(2)2f f f -<-<3(1)()(2)2
f f f -<-<3
(2)(1)()2f f f <-<-3(2)()(1)2
f f f <-<-)(x f ),(+∞-∞0)()2(=++x f x f 10≤≤x x x f =)()5.7(f
例： (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11) （四）对称性
若)()(x a f x a f +=-，则)(x f 关于a x =对称； 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 关于2
b
a x +=
对称； 若)(a x f +是偶函数，则)(x f 关于a x =对称； 若)(a x f +是奇函数，则)(x f 关于）（0,a 中心对称；。