一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法
摘要：本文用级数∑
∞
=3
ln 1
n p
n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。

关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法
目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。

以下本文就以级数∑
∞
=3
ln 1
n p
n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。

我们先看级数∑
∞
=3ln 1
n p
n
n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。

这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。

先考虑发散的情况。

由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有
n
n n n u u n n ln )
1ln()1(1++<
+ 成立，则∑∞
=1
n n u 发散。

为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”：
n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n
n
n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+<
-+⇔+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n
n n ξ1
ln )1ln(=
-+,
故
n n n n u u n n ln )
1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1
<-+⇔+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([
ln 1
<-++n n
n u n nu n ξ成立，只需
1]1)1([
ln lim 1
<-++∞
→n n
n n u n nu n ξ，
而显然 1lim =∞→n n
n ξ，故当 1]1)1([ln lim 1<-++∞→n n
n u n nu n n 时，∑∞=1
n n u 发散。

收敛的情况可类似讨论：设数列}{n u 是正项数列，若存在1>p 使得n 足够大时，有
p
p n n n n n n u u )
(ln )]1)[ln(1(1++>+ 成立，则∑∞
=1n n u 收敛。

因为
p p n n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+n
n
n u n nu p
p p n n ln ln )1(ln 1)1(1-+>-+⇔+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ,使得 n
p n p
p
p n n ξξ1
][ln ln )1ln(-=
-+,
故 p p
n n n n n n u u )(ln )]1)[ln(1(1++>+1
11][ln ][ln ]1)1([ln --+>-+⇔p n p n n n n n p u n nu n n ξξ， 要使n 足够大时有 1
1
1][ln ][ln ]1)1([ln --+>-+p n p n n n n n p u n nu n n ξξ 成立，只需 ∞→n lim p n n p u n nu n n p n p n n n n =>-+--∞→+11
1]
[ln ][ln lim ]1)1([ln ξξ， 若 ∞
→n lim 1]1)1([
ln 1
>=-++s u n nu n n n n ，取121>+=s
p ,就有 ∞→n lim p n n p u n nu n n p n p
n n n n =>-+∞→+]
[ln ][ln lim ]1)1([ln 1ξξ， 故当∞→n lim 1]1)1([ln 1>=-++s u n nu n n n n 时，∑∞=1
n n u 收敛。

综合上述，得到下面的定理
定理（“对数判别法”）：设正项级数∑∞
=1
n n u 满足：
∞
→n lim s u n nu n n n n
=-++]1)1([
ln 1
，
则（1）当s>1时，∑∞
=1n n u 收敛
（2）当s<1时，∑∞
=1
n n u 发散
参考文献：
《数学分析简明教程》，邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社，1999年6月。