2019-2020学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0 2．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．63．已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．34．“a＞1”是“a2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数 D．x=1是函数f（x）的极大值点7．已知双曲线的离心率e=，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，）B．（0，） C．（﹣∞，e）D．（e，+∞）9．若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）10．已知命题p ：∀x ∈（0，+∞），2x ＞3x ，命题q ：∃x 0∈（0，+∞），x ＞x ，则下列命题中的真命题是（ ）A ．p ∧qB ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q11．f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′（x ）g （x ）+f （x ）g′（x ）＞0，且g （﹣3）=0，则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C ．（﹣3，0）∪（3，+∞）D ．（﹣3，0）∪（0，3）12．过点M （2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两个不同点，若M 是AB 的中点，则该椭圆的离心率e=（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．抛物线x 2=4y 的焦点坐标为 ．14．已知命题p ：∃x 0∈R ，3=5，则￢p 为 ．15．已知曲线f （x ）=xe x 在点P （x 0，f （x 0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P 的坐标为 ．16．已知f （x ）=ax 3+3x 2﹣1存在唯一的零点x 0，且x 0＜0，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题p ：函数y=kx 是增函数，q ：方程+y 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆，若p ∧（￢q ）为真命题，求实数k 的取值范围．18．已知函数f （x ）=2x 3﹣6x 2+m 在[﹣2，2]上的最大值为3，求f （x ）在[﹣2，2]上的最小值．19．已知点P （1，﹣2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）若过抛物线C 焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两个不同点，求|AB|的最小值．20．已知函数f （x ）=x ﹣﹣2alnx （a ∈R ）．（1）若函数f （x ）在x=处取得极值，求实数a 的值；（2）求证：当a ≤1时，不等式f （x ）≥0在[1，+∞）恒成立．21．已知函数f （x ）=x ﹣﹣2alnx （a ∈R ）．（1）若函数f （x ）在x=处取得极值，求实数a 的值；（2）若不等式f （x ）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，点P （﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．2019-2020学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，故选D．2．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．3．已知函数f（x）=x2+sinx，则f′（0）=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．3【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，利用代入法进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+cosx，则f′（0）=cos0=1，故选：C．4．“a＞1”是“a2＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由a2＜1解得﹣1＜a＜1，即可判断出结论．【解答】解：由a2＜1解得﹣1＜a＜1，∴“a＞1”是“a2＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．5．双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=．故选：C．6．已知y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（﹣3，﹣1）上先增后减B．x=﹣2是函数f（x）极小值点C．f（x）在（﹣1，1）上是增函数 D．x=1是函数f（x）的极大值点【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】本小题考查导数的运用；根据导数值与0的关系判断各个选项即可．【解答】解：由图象得：﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣3，﹣2）递增，在（﹣2，﹣1）递减，故选：A．7．已知双曲线的离心率e=，点（0，5）为其一个焦点，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=3，b=4，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==，c=5，可得a=3，b==4，即有双曲线的标准方程为﹣=1．故选：D．8．函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，）B．（0，） C．（﹣∞，e）D．（e，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y=xlnx的单调递减区间．【解答】解：函数的定义域为x＞0∵y′=lnx+1令lnx+1＜0得0＜x＜，∴函数y=xlnx的单调递减区间是（ 0，），故选：B．9．若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：C．∈（0，+∞），x＞x，则下10．已知命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，命题q：∃x列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】复合命题的真假．【分析】根据∀x∈（0，+∞），2x＜3x，是真命题，再根据复合命题之间的判定方法即可判断出真假．【解答】解：命题p：∀x∈（0，+∞），2x＞3x，是假命题，例如取x=2不成立；命题q：∵∀x∈（0，+∞），2x＜3x，因此命题q是假命题，∴只有（￢p）∧（￢q）是真命题．故选：C．11．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．【解答】解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：A12．过点M（2，﹣1）作斜率为的直线与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为==，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，A，B两个不同点代入椭圆方程，可得+=1， +=1，作差整理可得+=0，∵斜率为==， ∴a=2b ，∴c==b ，∴e==． 故选：C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．抛物线x 2=4y 的焦点坐标为 （0，1） ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x 2=4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x 2=4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x 2=4y 的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）14．已知命题p ：∃x 0∈R ，3=5，则￢p 为 ∀x∈R，3x ≠5 ． 【考点】命题的否定．【分析】由特称命题的否定方法可得结论．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p ：∀x ∈R ，3x ≠5，故答案为：∀x ∈R ，3x ≠5．15．已知曲线f （x ）=xe x 在点P （x 0，f （x 0））处的切线与直线y=x+1平行，则点P 的坐标为 （0，0） ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f （x ）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得x 0为x+1=e ﹣x 的解，运用单调性可得方程的解，进而得到P 的坐标．【解答】解：f （x ）=xe x 的导数为f′（x ）=（x+1）e x ，可得切线的斜率为（x 0+1）e x0，由切线与直线y=x+1平行，可得（x 0+1）e x0=1，即有x 0为x+1=e ﹣x 的解，由y=x+1﹣e ﹣x ，在R 上递增，且x=0时，y=0．即有x 0=0，则P 的坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．16．已知f （x ）=ax 3+3x 2﹣1存在唯一的零点x 0，且x 0＜0，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣2） ．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2+6x=3ax（x+），令f′（x）=0，解得x=0或﹣．①当a＜0时，﹣＞0，当x＞﹣或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴故x=﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x＜0，则f（﹣）=﹣+﹣1=﹣1＜0，即a2＞4得a＞2（舍）或a＜﹣2．②当a＞0时，﹣＜0，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当﹣＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．∵f（0）=﹣1＜0，∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．三、解答题：本大题共7小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题p：函数y=kx是增函数，q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∧（￢q）为真命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：函数y=kx是增函数，利用一次函数的单调性可得k＞0．命题q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得k＞1．由于p∧（￢q）为真命题，可得p为真命题，q为假命题．即可得出．【解答】解：命题p：函数y=kx是增函数，∴k＞0．命题q：方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴k＞1．∵p∧（￢q）为真命题，∴p为真命题，q为假命题．∴，解得0＜k≤1．∴实数k的取值范围是0＜k≤1．18．已知函数f（x）=2x3﹣6x2+m在[﹣2，2]上的最大值为3，求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】求导并判断导数的正负，从而确定单调区间；由最大值建立方程求出m的值，进而求出最小值．【解答】解：f′（x）=6x2﹣12x，令f′（x）=0，则x=0或x=2，x （﹣∞，0）0 （0，2） 2 （2，+∞）f（x）正0 负0 正f（x）递增极大值递减极小值递增∴f（x）在[﹣2，0]上单调递增，在（0，2]上单调递减，=f（0）=m=3，∴f（x）max即f（x）=2x3﹣6x2+3，又∵f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5，=f（﹣2）=﹣37．∴f（x）min19．已知点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4（m2+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：∵点P（1，﹣2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴2p=4，解得：p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x，准线方程为x=﹣1；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1=0，代入y2=4x，整理得，y2+4my﹣4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y1+y2=﹣4m根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+2=（1﹣my1）+（1﹣my2）=4（m2+1）∴|AB|=4（m2+1）≥4，当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．20．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求实数a的值；（2）求证：当a≤1时，不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（）=0，解出验证即可；（2）求出函数的导数，通过a的范围，确定导函数的符号，求出函数f（x）的单调性，从而判断f（x）的范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+﹣，∴f′（）=1+4（2a﹣1）﹣4a=0，解得：a=，∴a=时，f′（x）=，∴f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，f（x）在x=处取得极值，故a=符合题意；（2）f′（x）=1+﹣=，当a ≤1时，则2a ﹣1≤1，∴f′（x ）＞0在（1，+∞）恒成立，函数f （x ）递增，∴f （x ）≥f （1）=2（1﹣a ）≥0．21．已知函数f （x ）=x ﹣﹣2alnx （a ∈R ）．（1）若函数f （x ）在x=处取得极值，求实数a 的值；（2）若不等式f （x ）≥0在[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（）=0，解出验证即可；（2）依题意有：f min （x ，）≥0从而求出f （x ）的导数，令f′（x ）=0，得：x 1=2a ﹣1，x 2=1，通过讨论①当2a ﹣1≤1即a ≤1时②当2a ﹣1＞1即a ＞1时，进而求出a 的范围【解答】解：（1）f （x ）的定义域是（0，+∞），f′（x ）=1+﹣， ∴f′（）=1+4（2a ﹣1）﹣4a=0，解得：a=，∴a=时，f′（x ）=，∴f （x ）在（0，）递增，在（，1）递减，f （x ）在x=处取得极值，故a=符合题意；（2）依题意有：f min （x ，）≥0f′（x ）=，令f′（x ）=0，得：x 1=2a ﹣1，x 2=1，①当2a ﹣1≤1即a ≤1时，函数f'（x ）≥0在[1，+∞）恒成立，则f （x ）在[1，+∞）单调递增，于是f min （x ）=f （1）=2﹣2a ≥0，解得：a ≤1；②当2a ﹣1＞1即a ＞1时，函数f （x ）在[1，2a ﹣1]单调递减，在[2a ﹣1，+∞）单调递增，于是f min （x ）=f （2a ﹣1）＜f （1）=2﹣2a ＜0，不合题意，综上所述：实数a 的取值范围是a ≤1．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，点P （﹣，1）在该椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k 的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b 2=a 2﹣c 2，即可求得椭圆C 的方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1≠y 2，BA 的中点（x 0，y 0），直线y=kx+1且k ≠0，恒过（0，1），点B ，A 在椭圆上，化简可得y 0==﹣1，AB 的中点在y=kx+1上，解得x 0，利用，可得x=±，推出k 的不等式，得到结果．【解答】解：（1）由已知e==，即c 2=a 2，b 2=a 2﹣c 2=a 2， 将P （﹣，1）代入椭圆方程，可得+=1， ∴a=2，b=，∴a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆C 的方程为： +=1； （2）椭圆C 上存在点B ，A 关于直线y=kx+1对称，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1≠y 2AB 的中点（x 0，y 0），直线y=kx+1且k ≠0，恒过（0，1），则x 12+（y 1﹣1）2=x 22+（y 2﹣1）2，点B ，A 在椭圆上，∴x 12=4﹣2y 12，x 22=4﹣2y 22，∴4﹣2y 12+（y 1﹣1）2=4﹣2y 22+（y 2﹣1）2，化简可得：y 12﹣y 22=﹣2（y 1﹣y 2），即y 1+y 2=﹣2，∴y 0==﹣1，又因为AB 的中点在y=kx+1上，所以y 0=kx 0+1，x 0=﹣， 由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k ＜﹣或k ＞．则k 的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．23．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，原点到直线+=1的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k 的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b 2=a 2﹣c 2，即可求得椭圆C 的方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1≠y 2，BA 的中点（x 0，y 0），直线y=kx+1且k ≠0，恒过（0，1），点B ，A 在椭圆上，化简可得y 0==﹣1，AB 的中点在y=kx+1上，解得x 0，利用，可得x=±，推出k 的不等式，得到结果．【解答】解：（1）由已知e==，即c 2=a 2，b 2=a 2﹣c 2=a 2， 原点到直线+=1的距离为， 即有=， ∴a=2，b=，∴a 2=4，∴b 2=2，∴椭圆C 的方程为： +=1； （2）椭圆C 上存在点B ，A 关于直线y=kx+1对称，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1≠y 2AB 的中点（x 0，y 0），直线y=kx+1且k ≠0，恒过（0，1），则x 12+（y 1﹣1）2=x 22+（y 2﹣1）2，点B ，A 在椭圆上，∴x 12=4﹣2y 12，x 22=4﹣2y 22，∴4﹣2y 12+（y 1﹣1）2=4﹣2y 22+（y 2﹣1）2，化简可得：y 12﹣y 22=﹣2（y 1﹣y 2），即y 1+y 2=﹣2，∴y 0==﹣1，又因为AB 的中点在y=kx+1上，所以y 0=kx 0+1，x 0=﹣， 由，可得x=±，∴0＜﹣＜，或﹣＜﹣＜0，即k＜﹣或k＞．则k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）2016年8月4日。