（1）求证： CD PA ； （2）求二面角 P BC A 的大小. 22．已知圆 O : x2 y2 4 ，点 P 是直线 l : x 2 y 8 0 上的动点，过点 P 作圆 O 的 切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B . （1）当 PA 2 3 时，求点 P 的坐标； （2）当 APB 取最大值时，求 APO 的外接圆方程. 23．已知圆 O : x2 y2 4 ，点 P 是直线 l : x 2 y 8 0 上的动点，过点 P 作圆 O 的 切线 PA ， PB ，切点分别为 A ， B . （1）当 PA 2 3 时，求点 P 的坐标； （2）设 APO 的外接圆为圆 M ，当点 P 在直线 l 上运动时，圆 M 是否过定点（异于 原点 O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21、（1）证明：∵ PAD 是正三角形， AD 2CD 4 ， ∴ PD 4 ， CD 2 ，∴ PC 2 PD2 CD2 20 ，∴ CD PD ， ∵ AD CD ， CD 平面 PAD ，∴ CD PA ；
第6页共8页
（2）设点 E 是 AD 的中点，连接 PE ， BE ，
2019-2020 山西省太原市高二上学期期中数学试题及答案
一、单选题
1．已知点 A1, 2 ， B 2, 1 ，则直线 AB 的斜率为（ ）
1
A．
3
B． 1 3
C． 3
D． 3
2．在空间直角坐标系中，点 P 1, 2, 1 与 Q 0,1,1 之间的距离为（ ）
A． 2
B． 6
C． 5
3．过点 0, 1 且垂直于直线 y 1 x 的直线方程为（ ）
∵ PAD 是正三角形，∴ AE PD ， AE 2 3 ， 由（1）得 CD 平面 PAD ，∴平面 PCD 平面 PAD ， ∴ AE 平面 PCD ， ∴ AC 与平面 PCD 所成角为 ACE ， ∵ AD CD ，∴ AC AD2 CD2 2 5 ,
∴ sinACE AE 15 . AC 5
积为
．
15．已知长为 2a a 0 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线
段 AB 的中点的轨迹方程为____________. 16．如图，在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F 分别是棱 BC, CC1 的中
第2页共8页
点, P 是侧面 BCC1B1 内一点，若 A1P 平行于平面 AEF ,则线段 A1P 长度的取值范围是
y
0, y2
0,
则
x 8, 5
y 16
x 0,
或
y
0
（舍去），∴圆
M
过定点
8 , 16 55
.
5,
第8页共8页
∵ PAD 是正三角形，∴ PE AD ， PE 2 3 ，
∵ AD∥BC ，∴ BC BE ， ∵ AD 2BC 2CD 4 ，∴ DE BC 2 ， ∵ AD CD ， AD∥BC ，∴ BCDE 是正方形， ∴ BC BE ，∴ BC 平面 PBE ，∴ BC PB ， ∴ PBE 是二面角 P BC A 的平面角， 由（1）得 CD 平面 PAD ，∴ CD PE ，∴ BE PE ， ∴ tanPBE PE 3 ，∴ PBE 60 .
∴ n 3 5 或 n 3 5 .
20、（1）证明：∵ PAD 是正三角形， AD 2CD 4 ， ∴ PD 4 ， CD 2 ，∴ PC 2 PD2 CD2 20 ，∴ CD PD ， ∵ AD CD ， CD 平面 PAD ，∴ CD PA ； （2）设点 E 是 PD 的中点，连接 AE ， CE ，
BE
22、（1）设 P x, y ，∵ x2 y2 4 ，∴ O 0, 0 ， r 2 ，
∵ PA 2 3 ，∴ OP r2 PA 2 4 ，
∴
x2 x
2
y2 y
8
16, 0,
解得
x 0, y 4,
或
x 16 , 5
y 12 5
,
∴
P
0,
4
或
P
16 5
,
12 5
；
（2）由题意可知当 OP l 时， APB 取最大值，设此时 P x, y ，
由
x
y 2y
2x, 8
0
得
y
x 8, 5
16 5
,
∴
P
8 5
,
16 5
，
APO
的外接圆圆心为
O
'
4 5
,
8 5
，
半径 r '
1 2
OP
45 5
，∴ APO
的外接圆方程为
x
4 5
值.
20．如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD CD ， AD∥BC , AD 2BC 2CD 4 , PC 2 5 , PAD 是正三角形.
第3页共8页
（1）求证： CD PA ； （2）求 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值. 21．如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD CD ， AD∥BC ， AD 2BC 2CD 4 , PC 2 5 ， PAD 是正三角形.
臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（ ）
A． 6
B． 9
C．18
D． 27
x y 2 0,
9．已知实数
x
，
y
满足条件
x
2
y
2
0,
则
z
x
3
y
的最小值为（
）
x 3,
A． 6
10
B．
3
C．
9 2
D． 10 3
10．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M ， N 分别为 AB ， AA1 的中点，则异面直
C． x 12 y 22 1
D． x 22 y 12 1
6．已知 m ， n 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论中正确的是
（）
A．若 m ， n ，则 m n C．若 m ， ，则 m
B．若 m ，∥ ，则 m D．若 m ， n ，则 m n
（1）求证： EF 平面 ADD1A1 ； （2）求证： EF 平面 A1B1CD . 19．已知圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x m 0 . （1）若圆 C1 与圆 C2 外切，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，若直线 x 2 y n 0 与圆 C2 的相交弦长为 2 3 ，求实数 n 的
线 C1M 与 BN 所成角的大小为（ ）
A． 30°
B． 45
C． 60
D． 90
11．已知 A 3, 0 ， B 0,1 ，点 C 为圆 x2 y2 4 y 1 0 上任意一点，则 ABC
面积的最大值为（ ）
A． 3 2
B． 3 3 2
C． 5 3 2
D． 7 3 2
12．将边长为 2 的正 ABC 沿着高 AD 折起，使 BDC 120 ，若折起后
（2）∵
A1, 4 ， C 2,3 ，∴ kAC
1 3
，
∴ AC 边上的高所在直线的斜率 k 3，
∴ AC 边上的高所在直线方程为： y 3 x 2 1，即 3x y 5 0
18、（1）连接 AD1 ，∵ ABCD A1B1C1D1 是正方体， AB P C1D1 ， AB C1D1 ，
7．已知直线 l1 : mx y 3 0 与直线 l2 : x y m 0 平行，则它们之间的距离是
（）
A． 2 2
B． 4
C． 2
D． 2
8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三
尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖 第1页共8页
_________.
三、解答题
17．已知 ABC 的顶点 A1, 4 ， B 2, 1 ， M 0,1 是 BC 的中点.
（1）求直线 AC 的方程； （2）求 AC 边上的高所在直线的方程. 18．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 AB ， C1D1 的中点.
∵圆 C1 与圆 C2 外切，∴ C1C2 r1 r2 ，∴ 3 1 9 m ，∴ m 5 ；
（2）由（1）得 m 5 ，圆 C2 的方程为 x 32 y2 4 ， C2 3, 0 ， r2 2 ，
由题意可得圆心 C2 到直线 x 2 y n 0 的距离 d
3n 5
r22 3 1，
第5页共8页
∵ A1D 平面 A1B1CD ， A1B1 平面 A1B1CD ， A1B1 A1D A1 ，
∴ EF 平面 A1B1CD .
19、（1）∵ x2 y2 1 ，∴ C1 0, 0 ， r1 1 ，
∵ x2 y2 6x m 0 ，∴ x 32 y2 9 m ，∴ C2 3, 0 ， r2 9 m ，
∵ E ， F 分别是 AB ， C1D1 的中点，∴ AE ∥ FD1， AE FD1 .
∴ AEFD1 是平行四边形，∴ EF ∥ AD1 ，
∵ EF 平面 ADD1 A1 ， AD1 平面 ADD1 A1 ， ∴ EF 平面 ADD1A1 ；
（2）由（1）得 EF ∥ AD1 ，∵ ABCD A1B1C1D1 是正方体. ∴ A1B1 平面 ADD1 A1 ，∴ A1B1 AD1 ，∴ A1B1 EF ， ∵ ABCD A1B1C1D1 是正方体，∴ ADD1 A1 是正方体， ∴ A1D AD1 ，∴ A1D EF ，
y 12 5
,
∴
P