第一章 先验分布与后验分布
1.1 解：令120.1,0.2θθ==
设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则
2
2618()0.10.90.1488P A C θ==
22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有
1111122()()
()0.4582()()()()
P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+
2221122()()
()0.5418()()()()
P A A P A P A θπθπθθπθθπθ=
=+
1.2 解：令121, 1.5λλ==
设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ
∴3(3)3!
e P X λ
λλ-==
1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有
111222(3)()
(3)0.2457
(3)(3)()
(3)0.7543
(3)
P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========
1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则
33
58()(1)P A C θθθ=-
（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351
()()
()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ
=
=-<<⎰
（2）361
()()
()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ
=
=-<<⎰
1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+
1
(),102010πθθ=
<< 11.611.51()0.0110
m x d θ==⎰
从而有
()()()10,11.511.6()
P x x m x θπθπθθ==<<
1.6 证明：设随机变量()X P λ ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0
!
x e P x x λ
λλλ-=
> 1(),0
()
e ααβλ
βπλλλα--=>Γ 因此 11(1)
()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝∙∝=
所以 (,1)
x G a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此
1
2
2()12(1)x
x
m x d x θθ
=∙=-⎰
因此 2()()1(),1
()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1
22
2()36x
m x d x θθθ=∙=⎰
因此 ()()
()1,01
()
P x x m x θπθπθθ=
=<< 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则
3
397100()(1)P A C θθθ=-
由题意可知 199(202)
()(1),01(200)
πθθθθΓ=
-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝∙∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ
1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X N θ
∴2
5(,)10X N θ
∴2
(176.53)5
()p x θθ--
=
由题意可知
2
(172.72)5.08()θπθ--=
又由于X 是θ的充分统计量，从而有
()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙
2
2
2
(176.53)(172.72)(174.64)5
5.08
21.26
e
e
e
θθθ----
-
-
⨯∝∙∝
因此 (174.64,1.26)x N θ
1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ 其中为已知 又由于X 是θ的充分统计量，从而有
()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙
2222
2
251()
()11
252()1
22525
2u x x u e
e
e
σθθθσσσ+-
-
--
+⨯--
⨯+⨯∝∝
因此 22
2
251(
,
)11
2525u x x N σθσσ+++
又由于
2
111
25
25σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于1
5
1.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ
∴1
(),0p x x θθθ
=
<<
当8θ>时，31()p x θθ
=
43819211()8192
m x d θθθ+∞==⎰
从而有 7
()()3()()128p x x m x θπθπθθ==
1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i n p x x i n θθθ
=<<=
从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝∙
00111
n n n αα
ααθθθθθ
++++∝∙∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。

1.13 解：由题意可知
()()2
13
31645
1ααβααββαβαβ⎧=⎪+=⎧⎪
⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+++⎩ 1.15 解：
（1）设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知
由题意可知 11
()(),0,1,2,...,
n
i
i n
x n
i i i p x p x
e x i n λ
λλλ=-=∑==>=∏ 从而有 ()()()x p x πλλπλ∝∙
1
1
()11
n
n
i
i i i x x n n e
e e
λ
βλ
αβλ
αλλ
λ
==--+
--+-∑∑∝∙=
因此 1
(,)
n
i
i x G a n x λαβ=++∑
所以 (,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布 （3） 由题意可知
20.00020.000420.0001α
αβαββ
⎧=⎪=⎧⎪
⇒⎨⎨
=⎩⎪=⎪⎩ 1.16 解：设2112
1
(,)(,
)2X N N θσθθ= ，则
2
21()12(,)x p x θθθθ--=
∴2
2
11
()2
122(,)n
i i n x p x e θθθθθ=--∑∝
由题意可知 122
1
(0,
)2N θθθ 2(,)Ga θαλ 从而有 ()()()211
1()
2
121222,()
e α
αθ
θλλπθθπθθπθθα+--+=∝Γ
因此 ()()22211111(1)212
1212122
,(,),n n i i i i n n x x x p x e
θθθλαπθθθθπθθθ==⎡⎤
+-+-++⎢⎥
+-⎢⎥⎣⎦∑∑
∝∝
1.19 证明：设λ的先验分布为()πλ，()X P λ ，则
(),0!
x e P x x λ
λλλ-=>
∴11
1
()()!
n
i
i x n n
i n
i i i e p x p x x λλλλ=-==∑==∏∏
从而有 ()()()1()n
i i x n x p x e λπλλπλλπλ=-∑∝∙∝∙
令1
n
i i T x ==∑，则。