d dx
f (x)dx 与
f ( x)dx 是否相等?
(3) 1 dx. x
求下列不定积分 1 (1) x3dx; (2) 2 dx; x
例 3 已知曲线 y f (x) 在任一点 x 处的切线斜率为 2 x , 且曲 线通过点(1, 2), 求此曲线的方程. 直接积分法 例4 计算不定积分 (1 3 x 2 ) 2 dx . 例 5 求不定积分 例 6 求不定积分 例 7 求不定积分 例8 例9
例 11 已知 f (ln x)
1, 0 x 1 , 且 f (0) 0 ,求 f (x) . x, 1 x
教 学 后 记 *
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结， 因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任 一 xI 都有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) 使对任一 x I 都有 F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就 有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x) 和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数) 二、 不定积分的概念 定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
x
(4) exdx ex C
x (5) a xdx a C
ln a
(6) cos xdx sinx C (7) sin xdx cos x C (8) 12 dx sec2 xdx tan x C
cos x
(9) 12 dx csc2 xdx cot x C sin x (10) 1 2 dx arctan x C
教 学 内 容 与 过 程 设 计
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作 f (x)dx
其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达 式 x 称为积分变量
注: 由定义知, 求函数 f (x) 的不定积分, 就是求 f (x) 的全体原函 数, 在 f ( x)dx 中, 积分号 表示对函数 f (x) 实行求原函数的运 算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运 算； 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即
性质 2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积
分号外面来 即 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数 k 0) 四、 基本积分表； (1) kdx kx C (k 是常数) (2) x dx 1 x 1 C
1
(3) 1 dx ln | x | C 2 ) dx .
1 x2
dx . 1 x4 x4 dx . 求不定积分 1 x2

求下列不定积分:
(2) sin2
(1) tan2 xdx


x dx. 2
例 10 求满足下列条件的 F (x). 1 x F ( x) , F (0) 1; 1 3 x
1 x
(11)
1 dx arcsin x C 1 x2
(12) sec x tan xdx sec x C (13) csc x cot dx csc x C (14) sh x dx ch x C (15) ch x dx sh x C 五、 直接积分法： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直 接求出不定积分的方法. 例题选讲： 不定积分的概念 例1 例2 问
时 间 安 排 章 节 名 称 教 学 目 的 教 学 重 点 与 难 点
第
23 次课
§4.1 不定积分的概念与性质
1.理解原函数概念、不定积分的概念； 2.掌握不定积分的基本公式； 3.掌握不定积分的性质
重点：1. 不定积分的概念； 2. 不定积分的性质及基本公式； 难点： 不定积分的公式的应用
一、 原函数的概念
f (x)dx F(x) C
因而不定积分 f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数 三、 不定积分的性质； 性质 1
教 学 内 容 与 过 程 设 计
函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx