统计与概率A.直方图(20１4Ⅰ)从某企业的某种产品中抽取50０件，测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s (同一组数据用该区间的中点值作代表);(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ,其中μ近似为样本平均数x ,2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<；(ｉi)某用户从该企业购买了1０0件这种产品,记X 表示这1０0件产品中质量指标值为于区间（187.8，２12.2)的产品件数,利用（ｉ）的结果，求EX . 附:150≈12．2.若Z ～2(,)N μδ,则()P Z μδμδ-<<+=0.６826,(22)P Z μδμδ-<<+=0.9５44.B.茎叶图(201５Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了２0个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:Ａ地区:6２73 ８1 9２958574 6４53 76７8 ８6９5 66 9７78 8８82 76８9B地区:73 ８3 62 51 ９１46 53 ７3 ６4 8293 4８65 8１74 56 54７6 65 ７９（Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,得出结论即可）;(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于７０分７0分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件Ｃ:“A地区用户的满意度等级高于Ｂ地区用户的满意度等级”。

假设两地区用户的评价结果相互独立。

根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.C.回归分析(２０15Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位：千元）对年销售量y(单位:ｔ)和年利润ｚ（单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值．x yw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w y y =--∑4６.6 5６３ 6.8 289.8 1.6 1469 １08.8表中i i w x =，81i i w w ==∑.(Ⅰ）根据散点图判断,y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?（给出判断即可,不必说明理由）(Ⅱ)根据(Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利率ｚ与x 、ｙ的关系为0.2z y x =-.根据(Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)n n u v u v u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^^^121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑解：（Ⅰ）由散点图可以判断,y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型………………２分(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程,由于8^1821()()108.8681.6()iii ii w w y y d w w ==--===-∑∑ ^^56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=所以y 关于w 的线性回归方程为^100.668y w =+，因此y 关于x的线性回归方程^100.6y =+6分（Ⅲ）(ⅰ）由（Ⅱ)知，当49x =时，年销售量y 的预报值^100.6576.6y =+=年利润z 的预报值^576.60.24966.32z =⨯-=…………………………………9分（ⅱ）根据(Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值^0.2(100.620.12z x x =+-=-+13.66.82==，即46.24x =时，^z 取得最大值,故年宣传费为46.2４千元时，年利润的预报值最大……………12分D.随机变量试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充．．至3件,否则不．进货．．,将频率视为概率。

（Ⅰ)求当天商品不进货的概率；(Ⅱ）记Ｘ为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列和数学期望．解：(Ｉ）P (“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”)P +（“当天商品销售量为1件”）.103205201=+=(Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3．P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;41205==P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为2件”)P+（“当天商品销售量为３件”).43205209201=++=X 的数学期望为.41143342=⨯+⨯=EX(2011全国理)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望. 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；Ｂ表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种; Ｄ表示事件：该地的１位车主甲、乙两种保险都不购买; （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ﻩ…………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= ﻩ…………6分 (ＩI),()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布， ﻩ…………10分所以期望1000.220.EX =⨯=ﻩ…………12分(2013Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果ｎ＝3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为1０0元,且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位:元),求X的分布列及数学期望．解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有３件优质品为事件A１，第一次取出的４件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(Ａ1B１)∪（A2Ｂ2),且A１Ｂ1与A２B2互斥，所以P(A)=P(A１B１)+P(A２B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2）P(B２｜A2)＝41113 161616264⨯+⨯=.(2)Ｘ可能的取值为400，50０,80０,并且Ｐ(X＝400)=41111161616--=,P(X=500)＝1 16，Ｐ（Ｘ＝８00)＝14.所以X的分布列为EX＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506．25．Ｅ.独立性检验(2010)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了50０位老年人，结果如下:是否需要志愿 性别 男女需要 40 30 不需要 160２70（1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2）能否有９９%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (３)根据（2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例?说明理由. 附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=(2)22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 由于９．９6７>6.６35,所以有９9％的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

（3)由(2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.F.与函数结合(2013Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润５０0元，未售出的产品,每1 ｔ亏损300元．根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了１3０ t 该农产品.以Ｘ(单位：t ，10０≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T （单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率;(3）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，11０)，则取X ＝105,且X ＝105的概率等于需求量落入[1００,１10)的频率)，求T 的数学期望.解:（1)当X ∈［100,１３0)时,T =50０X －３0０(130－X )＝8０0Ｘ-３９ 000,当X ∈[130,15０]时,T ＝５0０×130＝65 ０００.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2）由(１）知利润T 不少于５7 ０00元当且仅当12０≤X ≤150． 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为０.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 ００0元的概率的估计值为０.７.(3)依题意可得T 的分布列为所以ET=４5 000×0.1＋53 00０×0.2+６1 000×0.3＋65 000×0.４＝５9 400．（20１2)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。