第五、六章自测题标准答案
1. 判断题
(1) 当且仅当一个连续时间线性时不变系统的阶跃响应是绝对可积的，则该系统是稳定的。

（ × ） (2) 若h (t )是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是非稳定的。

（ √ ） (3) 对于一个因果稳定的系统，可以利用ωωj s s H j H ==|)()( 求系统的频率响应。

（ √ ） (4) 一个稳定的连续时间系统，其系统函数的零极点都必定在s 平面的左半平面。

（ × ） 2．填空题
（1）某二阶系统起始状态为2_)0(',1_)0(=-=r r ；初始条件为,1)0(',3)0(==++r r 则确定零输入响应待定系数的初始条件为)0(+zi r = -1 ，)0('+zi r = 2 ；而确定零状态响应待定系数的初始条件为 )0(+zs r = 4 ，)0('+zs r = -1 。

（2）2
3)(2++=-s s e s F s 的逆变换为 )(][ )1(2)1(t u e e t t -----。

（3）)()sin()(t u t t f φα+=的拉普拉斯变换为2
22
2sin cos )(αφαα
φ+⋅
++⋅=s s
s s F 。

3．求图5-1中所示单边周期信号的拉氏变换。

t
图5-1
解： +---+-
-=)2
3()()2()()(T
t u T t u T t u t t f ε s e A T t u t u A s T
)
1()2()(2
--↔
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--
)
1()
1()
1()(2
2
s T sT
s T e
s A e s e A s F ---+=--=
4．一个单位冲激响应为h (t )的因果LTI 系统有下列性质：
（1）当系统的输入为t e t x 2)(=时，对所有t 值，输出t
e t y 26
1)(=。

（2）单位冲激响应h(t)满足微分方程
)()()(2)
(4t bu t u e t h dt
t dh t +=+-。

这里b 为一个未知常数。

确定该系统的系统函数。

解：本题中用到了特征函数的概念。

一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号为系统的特征函数。

（请注意：上面所指的系统必须是线性时不变系统。

）
因为t e t x 2)(=是因果LTI 系统的特征函数，所以t
t
s e e
s H t y 2226
1|)()(=
⋅==。

即 6
1|)(2=
=s s H 对所给的微分方程两边取拉普拉斯变换，得 s
b
s s H s sH ++=
+41)(2)( )
4)(2()
4()(++++=s s s s b s s H
将s=2代入上式，得
6
426261)2(⨯⨯+==b H ， b=1 所以
0)Re( ,)
4(2
)(>+=
s s s s H
5．已知系统微分方程为)()('2)(2)('3)(''t f t f t y t y t y +=++，输入为)(2)(3t u e t f t -=，系统的起始条件为1)0(',1)0(==--y y ，
（1）求系统的系统函数和单位冲激响应；（2）求系统的零输入响应，零状态响应，完全响应，自由响应和强迫响应。

解：（1）1
1
232312)(2+-++=+++=
s s s s s s H
冲激响应2()(3)()t
t h t e
e u t --=-
（2）零输入响应
t t zi e A e A t r --+=221)( 0≥t
⎩⎨
⎧=-=⇒⎭⎬⎫=--=+3
2
121
212121A A A A A A 所以 )()32()(2t e e t r t t zi ε--+-= (3) 零状态响应
3
5
261132)2)(1(12)()()(+-+
+++-=+⋅+++=
=s s s s s s s s H s E s R zs 所以 )()56()(32t u e e e t r t t t zs -----=
完全响应 )()524()()()(32t u e e e t r t r t r t t t zs zi ----+=+= 自由响应：)()24(2t u e e t t --+ 强迫响应：)(53t u e t --
6．某反馈系统如图5-2所示，已知子系统的系统函数为6
5)(2++=s s s
s G 。

试确定
（1）为使系统稳定，实系数k 应满足什么条件； （2）若系统为临界稳定，求k 及单位冲激响应h (t )。

解：6
5)(1)()()()(2+-+=-==
ks s s s
s kG s G s E s R s H 为使系统稳定，k<5
k=5时，系统临界稳定，此时 )(6c o s )(t u t t h ⋅= 7. 系统如图5-3所示，激励为i 1(t),
响应为i 2(t). (1) 求系统函数H(s); (2)
若i 1(t)=2A,求i 2(t)。

已知R 1=R 2=1Ω,C=1F,L=1H .
解：（1）sL
R sC
R sC
R s I s I s H ++++
=
=2111211)
()
()(
1
1+=
s （2）s
s s I s H s I 2
11)()()(12+==
)()22()(2t u e s i t --=
8．已知一线性时不变系统激励为3()()(),t t f t e e u t --=+ 系统响应为4()(22)()t t y t e e u t --=-，求： (1)系统的单位冲激响应h (t); (2)系统激励-响应微分方程。

解答：（1）)4)(2(9
331114212)()()(+++=
++
++-
+==s s s s s s s s F s Y s H )()(2
3)]([)(421t u e e s H L t h t
t ---+==
（2）系统的激励-响应微分方程
)(9)('3)(8)('6)(''t f t f t y t y t y +=++
9．已知一LTI 系统函数H(s)的零点z=1,极点p=-1,且冲激响应初值2)0(=+h ，试求： （1）系统函数H(s);
(2)系统的幅频特性H(ω),相频特性φ(ω)；
（3）若激励)(3sin 3)(t u t t e ⋅=，求系统稳态响应。

解：（1）2)(lim )0(0
==→+s sH h s
2
)1()
1(2)(+-=
s s s H （2）2
)1()
1(2)(+-=
ωωωj j j H
2
12)(ω
ω+=
j H
2
12arctan
arctan )(ω
ω
ωωϕ---= （3）将3=ω代入)(ωj H 和),(ωϕ 求得系统的稳态响应为t t y s 3sin 3)(=。