第二部分 数学物理方程
第五章 数学物理方程的建立
【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P107-121】
在物理学中，描述物理规律、物理过程和物理状态的变化大多都可以用
微分方程来描述。有些是用常微分方程来描述，如经典力学中
JK F
=
m
d
2rK
，电
dt 2
学中的交变电路方程等，这只有在物理量只依赖于单个变量的情况下才行。
热传导方程的推导，主要是基于能量守恒定律和热传导的傅里叶定律。
设
u
(
x,
y,
z,
t
)
为物体的温度分布，傅里叶热传导定律表为：qK
=
−k∇u
，其中
K q
为
热流密度，其大小为单位时间内通过单位横截面积的热量，其方向沿温度
下降最快的方向， k 为热传导系数。傅里叶定律的分量表述为： qx = −kux ， q y = −kuy ， qz = −kuz 。
dx2 + du2 = dx
1+
⎛ ⎜⎝
∂u ∂x
⎞2 ⎟⎠
。
小振动条件：弦的形变很小，即 du dx ， ∂u 1，
∂x
所以在小振动条件下，有 ds ≈ dx ，此段弦的质量为 ρdx ，而此段弦所受的横
向力（与 x 轴垂直的力）为T2 sinα2 − T1 sinα1 + F ( x,t ) dx 。
是固定的，则那里的位移总是为 0 。因而 u ( x,t ) = 0 ， u ( x,t ) = 0 。
x=0
x=l
若研究一根细杆的热传导情况，当杆的一端 x = l 处于温度为 u0 的恒温环境
中，也就是在 x = l 处，杆的温度 u 恒定为常数 u0 。即 u ( x,t ) x=l = u0 。
2
K r
=
0
，但显然并不是每个自由粒子的运动都是一样的。在弦振动问题中，
dt 2
弦开始时的形状怎样（ t = 0 时弦上各点的横向位移怎样），开始时的状态是
静止还是已振动（ t = 0 时弦上各点的速度如何），这都是我们在确定弦的振
动时都必须了解的。
初始条件就是把体系在开始时（ t = 0 ）的情况表达清楚。
=
k cρ
，
f
( x,
y, z,t)
=
F
( x, y, z,t)
cρ
， ∇2
=
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
。
若物体内没有热源，则 F ( x, y, z,t ) = 0 ，于是热传导方程就为 ut = a2∇2u 。
若物体可以看成一维的，如一条均匀的细长杆，此时的热传导方程就是
一维热传导方程
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初始条件所反映的必须是物体上各点的初始状态，而不是仅仅某一点。
边界条件
一共有三类边界条件：
1.给定要求解的函数 u 在边界上的值 u ( x, y, z,t ) 边界上的x0 , y0 , z0
=
f
( x0, y0, z0,t ) ，称为
第一类边界条件。
例如：若研究长为 l 、两端固定的弦的振动情况，既然弦的两端 x = 0 ， x = l
所满足的方程。
设弦的质量密度为 ρ ，现在研究位于 x 到 x + dx 这一段弦的运动状况。这
段弦受两边的张力T1，T2 和外力 F ( x,t ) dx . 弦没有纵向（ x 方向）的运动，于
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是此段弦所受的纵向合力为 0 。
即：T2 cosα2 − T1 cosα1 = 0 （1）
此段弦的弧长 ds =
于是由牛顿第二定律，可得此段弦的横向运动方程为
T2
sin α2
− T1 sin α1
+
F
( x,t ) dx
=
( ρdx)utt （2）。【 ut
=
∂u ∂t
,ux
=
∂u ∂x
, utt
=
∂2u ∂t 2
, uxt
=
∂2u ∂x∂t
," 】
当α 很小时，有 cosα ≈ 1， sinα ≈ α ≈ tanα 。
将（3），（4）代入（2），得：
( ) T ux x+dx − ux x + F ( x,t ) dx = ( ρdx)utt ，
T
ux
x+dx − ux dx
x
+
F
( x,t)
=
ρutt
，
即： Tuxx + F ( x,t ) = ρutt ，
utt = a2uxx + f (x,t) 弦的（一维）受迫振动方程，
量密度为 ρ ，比热为 c ，则长方体升高 du 温度所需的热量为 cρdudxdydz 。
由能量守恒，得：
( ) cρ
dudxdydz
=
⎡ ⎢
∂
(
kux
)
+
∂
ku y
ห้องสมุดไป่ตู้
+
∂
(
ku
z
)
⎤ ⎥
dxdydzdt
+
F
(
x,
y,
z,
t
)
dxdydzdt
，
⎢⎣ ∂x
∂y
∂z ⎥⎦
两边除以 dxdydzdt ，得
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( ) cρut
=
∂ (kux ) +
∂x
∂
ku y ∂y
+ ∂ (kuz ) + F ( x, y, z,t ) ，
∂z
或 cρut = ∇ ⋅(k∇u) + F ( x, y, z,t ) 。
若物体是均匀的，则 k 为常数，于是热传导方程可写为
ut
=
a2∇2u
+
f
( x,
y, z,t) ， a2
∇2u = − f ( x, y, z) ，这种类型的方程就称为泊松方程。
a2
若 f (x, y, z) = 0 ，则又得： ∇2u = 0 ， 这种类型的方程就称为拉普拉斯方程。
静电场方程：若电荷密度为
ρ
，电场强度为
JK E
，介电常数为
ε
,
则由高斯定理可得：
w∫∫s
JK E
⋅
K ds
=
1 ε
∫v
ρ
2.给定要求解的函数 u
在边界上的法向导数值 ∂u
直线绷紧，取这直线为 x 轴，以坐标 x 标志弦上的各点，弦上各点的横向 位移记为 u 。由于弦上各点在不同时 刻的横向位移是不同的，所以 u 依赖 于弦上各点的位置 x 和时间 t ，
u = u ( x,t ) 。设弦上每单位长度受垂直于弦的外力为 F ( x,t ) .现在来推导 u ( x,t )
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如图，考虑物体中一个边长分别为
dx 、 dy 和 dz 的小长方体，使它的
六个面分别与三个坐标面平行。
dt 时 间 内 沿 x 方 向 通 过 面 元
ABCD 流 进 长 方 体 的 热 量 为 qx dydzdt ，
x
dt 时间内沿 x 方向通过面元 EFGH 流出长方体的热量为 qx dydzdt ，
x + dx
dt 时间内沿 x 方向净流入长方体的热量为
( ) qx dydzdt − qx dydzdt = － qx − qx dydzdt = − ∂qx dxdydzdt = ∂ (kux ) dxdydzdt 。
x
x + dx
x + dx
x
∂x
∂x
同样 dt 时间内沿 y 和 z 方向净流入长方体的热量分别为
ε
若 ρ = 0 ，则 ∇2u = 0 ， 静电势满足的方程为拉普拉斯方程。
在有电荷的地方 ( ρ ≠ 0) ，静电势满足的方程为泊松方程。在无电荷的 地方 ( ρ = 0) ，静电势满足的方程为拉普拉斯方程。
线性方程和迭加原理
上面得到的数理方程可统一写为：
Lˆu ( x, y, z,t ) = f ( x, y, z,t ) （1） 其中 Lˆ 为二阶线性偏导数算符，即 L (c1 f1 + c2 f2 ) = c1 L f1 + c2 L f2 ，结果容易
当物理量依赖于多个变量：如电场
JK E
(
x,
y,
z,
t
)
和磁场
JK B
(
x,
y,
z,
t
)
，物体的温度
分布，物体中某种物质的浓度分布等都依赖于空间和时间变量。那么描述这
些物理量的变化就不能用常微分方程来描述，而是要用偏微分方程来描述。
几个常见的方程的建立：
1.弦的横振动方程 一根完全柔软的弦，沿着一条
ut = a2uxx + f ( x,t ) （有热源） 或 ut = a2uxx （无热源）。
若用 u 代表物体内某种物质的浓度。则扩散方程与热传导方程是一样的。
（3）泊松方程和拉普拉斯方程
若温度达到了稳定分布，即温度分布不随时间变化， ut = 0 ，则由热传 导方程可得温度稳定分布满足的方程为
三维受迫振动方程为： utt = a2∇2u + f ( x, y, z,t ) ；
三维自由振动方程为：
utt
= a2∇2u 。【 ∇2
=
∂2 ∂x2
+ ∂2 ∂y 2
+ ∂2 ∂z 2
，三维拉普拉斯算符】
⎧ ⎪ ⎪