2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn
sin
nx 2l
)
( x 2m, m ห้องสมุดไป่ตู้0,1,2, )
2 确定傅里叶系数：an, bn
a0
1 2
2 f x d x
2
f
当 x 10k 5时, 傅里叶级数收敛到
S(10k 5) 5 5 0.
2
例2 设 f ( x) 周期 T 4 , 2,2 上表达式为
f
x
0,
E,
2 x0 0 x 2 (E 0,为常数)
试将f x展成傅里叶级数.
Ey
解 1 f ( x)满足收敛定理条件.
2 o 2
x
f ( x)的间断点： xm 2m (m 0,1,2, )
(连续点处)
其中 bn
f ( x)sin nπ x d x l
(n 1, 2, )
(2) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为偶函数，则
(连续点处)
其中 an
f ( x)cos nπ x d x l
(n 0, 1, 2, )
注 傅里叶级数总收敛于
(在 f (x) 的间断点 x 处)
cos
nπ 5
x
5 nπ
sin
nπ 5
x5 0
1n1 10 n 1,2,
nπ
an
0,
bn
1n1 10
nπ
y
5 o 5
x
因 f x满足狄利克雷条件，故有傅里叶展开式:
f
x
10 π
sin
πx 5
1 2
sin
2πx 5
1 sin 3
3πx 5
( x , x 10k 5, k 0,1,2, ）
一般周期函数的傅里叶级数
一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数
T 2l
思路： f ( x)
x
l
t
T 2π
f (l t) (t)
展开
x [l,l]
t [ , ]
f (x)
n x
n x (t x)
l
l
l
an
1 π
(t)cos nt d t
(n 0, 1, 2, )
bn 11l1 llllff((xx(t)))ccsooisns nnnllt xxddt lxd x (n 1, 2, )
y y F(x)
l O l x 3l
l O l
3l x
1 对f ( x)进行周期延拓: 考虑 y F( x) (T 2l ) 满足： F ( x) f ( x), x (l,l]
y l O
y f (x) lx
且 F(x 2l) F(x)
2 将F ( x)展开成周期为 2l的傅里叶级数 3l
bn
1
(t)sin nt d t
(n 1, 2, )
t x l
1
l
f ( x)sin nx d x
l
ll
1 l f ( x)sin nx d x
l l
l
定理4 (展开定理)
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛
定理的条件，则它的傅里叶级数处处收敛，且
a0
2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin
nx )
l
f f
( (
x), x )
2
f (x),
当x为f ( x)的连续点时； 当x为f ( x)的间断点时，
其中系数 an, bn为
an
1 l
ll
f
( x)cos
nπ l
x
d
x
(n 0, 1, 2, )
bn
1 l
ll
f
( x)sin
nπ l
xd
x
(n 1, 2, )
结论 (1) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为奇函数，则
y y F(x)
l O l
3l x
3 限制 x [l, l],
F ( x) f ( x), x (l,l]
当 x (l,l)，且x为f ( x)的连续点时，
f
(
x)
F(
x)
S(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
l
bn
sin
nx )
l
当 x0 (l,l)，且x0为f ( x)的间断点时，
x
0,
2 x0
E, 0 x 2
1[
0
0d x
2
E d x] E
2 2
0
an
1 2
2 f xcos nx d x
2
2
(n 1, 2, )
1 2
0
0d x
2
2 0
E
cos
nx
2
d
x
sin n x
2
n
2
2
0
0
f
x
0,
2 x0
E, 0 x 2
bn
1 2
2 2
f xsin nx d x 1
2
2
2
nx
E sin d x
0
2
bn
1
2
E
20
0, 2nEπ ,
sin nx d x
2 n 2,4,
n 1,3,
E [1 nπ
(1)n ] Ey
2 o 2
x
3º 所求函数的傅里叶展开式为：
f
(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
2
bn
sin
nx
2
)
E 2E 1 sin (2k 1) x
限制)
a0
1 π
ππ e x
d
x
1ex π
|ππ
1 [eπ π
eπ ] ,
an
1 π
ππ e x
cos nx d
x
1 π
ex
1
n2
nsin nx
S( x0 ) F ( x0 ) F ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
2
2
当 x0
l 时，S( x0 )
F(l ) F(l )
2
f (l ) f (l ) 2
其中傅里叶系数
an
1 l
l F ( x)cos nx d x,
l
l
1 l f ( x)cos nx d x,