导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x ；(5)y ＝f (x )＝x .问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝0.2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x.函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x112－＝12x，∴(x α)′＝αx α－1.基本初等函数的导数公式二、导数运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝1x .问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1x 2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)题型一 利用导数公式直接求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 21log =；(4)y ＝4x 3；(5)12cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y .[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(3)y ′＝1x ln 12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝344x；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .练习 求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x ；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110xln 110＝－ln 1010x ＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0；(4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.练习 求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3.题型三 导数几何意义的应用[例3] (1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．[解析] (1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0 (2)(2,1) 练习 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线， ∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.答案：11.切线方程的求法[典例] 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解] 由已知得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3－6＋3a ＝3a －3， 且f (1)＝1－3＋3a －3a ＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)，即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0.所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)·(1－x0)即2x30－3x20＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－1 2，故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y0)．则f′(x0)＝3x20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 又点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，故切线方程为9x －y ＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x12－x＝12x32－＝12x x， 所以④正确．答案：B2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：14．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－6 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝1＋cos xx 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3.(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。