上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
为1321元/吨。
练习3、求下列函数的导数。
1 2 (1) y 2 ; x x x 1 4 2 ; (2) y 1 (1) y 1 (1) ;y 2 3 ; x2 x x2 x x (3) y tan x; x (2) y 22 ; 2 (4) y 1 x 3) 1 x ; (2 x (3) y tan x; 2
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
我们再回顾一下 “导数的几何意义” 中的两个练习题。
练习1、求曲线 y 9 在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．
第二种解法：
9 y 2倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y 2 x 在（1，-）处 2
上导乘下,下导乘上,差比下方
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
思考如何求下列函数的导数：
1 (1) y 4 x
(2) y x x
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
1 5284 c( x ) ( ) 5284 ( x 100 ) 100 x
1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 ( x 100) 2
3
( x ) (2 x) (3)
3
3x 2
2
所以，函 数y=x3y 3x2 2
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
1 x 2 2) y ( 3) 1 x 2 ; 2 2 ; (4) y (2 x (1 x )
x
x
x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值，
(4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
第三章 导数及其应用
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x