综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知倾斜角为α的直线l 与直线x-2y+2=0平行,则tan α的值为( ) A.-12B.12 C.2D.-22.圆x 2+y 2-2x+2y=0的周长是( ) A.2√2πB.2πC.√2πD.4π3.已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行C.若α,β不平行···,则在α内不存在···与β平行的直线D.若m,n 不平行···,则m 与n 不可能···垂直于同一平面4.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C.16π D.24π5.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.内切D.外切6.已知直线l 1:x+ay-1=0与l 2:(2a+1)x+ay+1=0垂直,则a 的值是( ) A.0或1B.1或14 C.1D.-17.若直线l 1:ax+2y-8=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行,则a 的值为( ) A.1 B.1或2C.-2D.1或-28.某一棱锥的三视图如图所示,则其侧面积为( )A.8+4√13B.20C.12√2+4√13D.8+12√29.三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V2=( )A.13 B.12C.14D.110.与圆C:x2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( )A.2条B.3条C.4条D.6条11.过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤9}分成两部分,使得两部分的面积相差最大,则该直线的方程是( )A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=012.若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)13.在空间直角坐标系Oxyz中,设点M是点N(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点,则线段MN的长度等于.14.与直线7x+24y=5平行,并且与直线7x+24y=5的距离等于3的直线方程是.15.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.16.已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知直线l1:x+2y+1=0,l2:-2x+y+2=0,它们相交于点A.(1)判断直线l1和l2是否垂直,请给出理由;(2)求过点A且与直线l:3x+y+4=0平行的直线方程.318.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为0,求此切线的方程.19.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.20.(12分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2的折叠:折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P落在线段AD上的点M 处,并且MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.21.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.22.(14分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π,点D,E在线段AC上,且2AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.附加题1.(2014重庆,13,5分,★★☆)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .2.(2015北京,17改编,★☆☆)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.求证:AO⊥BE.3.(2014安徽,19,13分,★☆☆)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2√17,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.一、选择题1.B 依题意,得tan α=12.2.A 圆的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2,所以圆的半径为√2,故圆的周长为2√2π.3.D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A 错;若m,n 平行于同一个平面,则m 与n 可能平行,也可能相交,还可能异面,故B 错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C 错;从原命题的逆否命题进行判断,若m 与n 垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D 正确.4.B ∵S=4πR 2=16π,∴R=2, ∴V=43πR 3=323π.5.D ∵|C 1C 2|=√(2+2)2+(5-2)2=5,r 1=1,r 2=4,∴r 1+r 2=5=|C 1C 2|,∴两圆外切. 6.D 由直线l 1与l 2垂直得1×(2a+1)+a 2=0,∴a=-1.7.A 直线l 1的方程为y=-a2x+4,若a=-1,则两直线不平行,所以a≠-1.要使两直线平行,则有a 1=2a+1≠-84,由a 1=2a+1,得a=1或a=-2.当a=-2时,两直线重合,所以a=1,选A. 8.C 由三视图可知,该几何体为四棱锥.四棱锥的高为2,底面矩形的两条邻边长分别为4、6,对应的侧面斜高分别为2+32=√13、2+22=√8=2√2.所以侧面积为 2(12×4×√13+12×6×2√2)=4√13+12√2,选C.9.C 如图,设S △ABD =S 1,S △PAB =S 2,E 到平面ABD 的距离为h 1,C 到平面PAB 的距离为h 2,则S 2=2S 1,h 2=2h 1,V 1=13S 1h 1,V 2=13S 2h 2,∴V 1V 2=S 1ℎ1S 2ℎ2=14.10.C 易判断原点在圆C 外,且过原点的两条切线在坐标轴上的截距相等.若切线不过原点,设方程为x+y=a,∵圆C 的圆心坐标为(0,-5),半径为√3,∴√2=√3,∴a=-5±√6. ∴共有4条.11.A 设过点P 的直线为l,当OP⊥l 时,过点P 的弦最短,所对的劣弧最短,此时,得到的两部分的面积之差最大.易求得该直线的方程为x+y-2=0,故选A.12.B 由正四面体的定义可知n=4能满足条件.当n≥5时,可设其中三个点为A 、B 、C,由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到A 、B 、C 三点距离相等的点必在过△ABC 的重心且与平面ABC 垂直的直线上,从而易知到A 、B 、C 的距离等于正三角形ABC 边长的点有两个,分别在平面ABC 的两侧.此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长,从而不可能有5个点满足条件.当然也不可能有多于5个的点满足条件.故选B. 二、填空题 13.答案 10解析 由对称知识得点M(2,-3,-5), ∴|MN|=10.14.答案 7x+24y+70=0或7x+24y-80=0解析 设所求直线方程为7x+24y+c=0(c≠-5),由√22=3,解得c=70或c=-80.所以所求直线方程为7x+24y+70=0或7x+24y-80=0. 15.答案 √7解析 原两个几何体的总体积V=13×π×52×4+π×22×8=1963π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则13×π×r 2×4+π×r 2×8=1963π,解得r=√7.16.答案 (x-2)2+(y-2)2=2解析 圆C 的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,圆心C(6,6),半径为√18=3√2.圆心C 到直线l 的距离d=√2=√2=5√2,则圆上的点到直线l 的最短距离为5√2-3√2=2√2,要使所求圆与直线l 和圆C 都相切且半径最小,则所求圆的直径2r=2√2,所以r=√2.易求得所求圆的圆心坐标为(2,2),所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 三、解答题17.解析 (1)直线l 1与l 2垂直.理由如下:直线l 1的斜率k 1=-12,直线l 2的斜率k 2=2, ∵k 1k 2=(-12)×2=-1,∴l 1⊥l 2.(2)由方程组{x +2y +1=0,-2x +y +2=0得{x =35,y =-45,即点A 的坐标为(35,-45), ∵直线l 3的斜率为-3,∴所求直线方程为y--45=-3(x -35),即3x+y-1=0.18.解析 ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为0,∴设切线方程为x+y=a(a≠0). 圆C 的方程可变形为(x+1)2+(y-2)2=2, 由题意知√2=√2,解得a=-1或a=3.∴所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0. 19.解析 (1)由该四面体的三视图可知, BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∵BD,DC 为平面BDC 内两条相交直线, ∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD 的体积V=13×12×2×2×1=23. (2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵AD⊥平面BDC,BC ⊂平面BDC, ∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形EFGH 是矩形.20.解析 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD, AD ⊂平面ABCD,∴PD⊥AD. ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD⊥DC. 又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD. ∵CF ⊂平面PCD,∴AD⊥CF. 又∵MF⊥CF,MF∩AD=M, ∴CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC, 在△PCD 中,DC 2=CF·PC, ∴CF=DC 2PC =12.在Rt△PCD 中,PD=222√3. ∵EF∥DC,∴PC PD =CFED ,∴ED=PD ·CF PC =√3×122=√34. ∴PE=ME=√3-√34=3√34, ∴S △CDE =12DC·ED=12×1×√34=√38. 易证MD⊥底面CDE.在Rt△MDE 中,MD=22=√62, ∴V M-CDE =13S △CDE ·MD=13×√38×√62=√216.21.解析 (1)由题意知,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3,由题意得,|3k -2+3|√k 2+1=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,所以√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤√a 2+(2a -3)2≤3.解得0≤a≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0,125].22.解析 (1)证明:由DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰△PDC 中DC 边的中点,故PE⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE ⊂平面PAC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因为∠ABC=π2,EF∥BC,所以AB⊥EF.从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE,EF 都垂直,所以AB⊥平面PFE.11(2)设BC=x,则在直角△ABC 中,AB=22=2从而S △ABC =12AB·BC=12x √36-x 2.由EF∥BC 知,AF AB =AE AC =23,且△AFE∽△ABC,故S △AFES △ABC =(23)2=49,即S △AFE =49S △ABC .由AD=12AE,得S △AFD =12S △AFE =12×49S △ABC =29S △ABC =19x 2从而四边形DFBC 的面积S DFBC =S △ABC -S △AFD=12x √36-x 2-19x √36-x 2=718x √36-x 2.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角△PEC 中,PE=22=22=2√3.V P-DFBC =13·S DFBC ·PE=13·718x √36-x 2·2√3=7,整理得x 4-36x 2+243=0,解得x 2=9或x 2=27,由于x>0,可得x=3或x=3√3,所以,BC=3或BC=3√3.附加题1.答案 4±√15解析 易知△ABC 是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB 的距离为√3,即√a 2+1=√3,解得a=4±√15.经检验均符合题意,故a=4±√15.2.证明 因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,平面AEF∩平面EFCB=EF,所以AO⊥平面EFCB.又BE ⊂平面EFCB,所以AO⊥BE.3.解析 (1)因为BC∥平面GEFH,BC ⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.12 (2)如图,连接AC,BD 交于点O,BD 交EF 于点K,连接OP,GK. 因为PA=PC,O 是AC 的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC=O,且AC,BD 都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO ⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.所以GK 是梯形GEFH 的高.由(1)知BC∥EF,又BC∥AD,所以AD∥EF,所以EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=14DB=12OB,即K 为OB 的中点.再由PO∥GK 得GK=12PO,即G 是PB 的中点.由(1)知GH∥BC,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=4√2,PO=√PB 2-OB 2=√68-32=6,所以GK=3. 故四边形GEFH 的面积S=GH+EF 2·GK=4+82×3。