第6讲 双曲线方程
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最新考纲
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道
其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
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知识梳理 1．双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差
的绝对值为常数 2a (2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这
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(√ ) (√ )
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x2 y2 2．(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线 2－ ＝1(a＞0)的离心率 a 3 为 2，则 a＝ ( A．2 6 B. 2 5 C. 2 D．1 )
解析 由双曲线方程知 b2＝3，从而 c2＝a2＋3，又 e＝2，
2 c2 a ＋3 因此 2＝ 2 ＝4，又 a＞0，所以 a＝1，故选 D. a a
2 y (1)x2－ 8 ＝1(x≤－1) (2)2 3
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规律方法
双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平
c e＝ a ，e∈(1，＋∞)
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线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的 长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线
性质
实虚轴
的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做
双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长
a，b，c的关系
c2 ＝
a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
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1 ∴1＜1＋ ＜2，∴ 2＜e＜ 5. a 答案 B
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x2 y2 4．(2014· 广东卷)若实数 k 满足 0＜k＜5，则曲线 － ＝1 16 5－k x2 y2 与曲线 － ＝1 的 16－k 5 ( A．实半轴长相等 C．离心率相等 B．虚半轴长相等 D．焦距相等 )
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诊 断 自 测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． x2 y2 (2)方程m－ n ＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． (× ) (× )
x2 y2 (3)双曲线方程m2－n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 x2 y2 x y － ＝0，即 ± ＝0. m2 n2 m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2 .
两个 定点 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集 合 P ＝ {M|||MF1| － |MF2|| ＝ 2a} ， |F1F2| ＝ 2c ，其中 a ， c 为常 数且a>0，c>0： (1)当 a<c 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线 ； (3)当 a>c 时，P点不存在．
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与
C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
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2 y 故点 M 的轨迹方程为 x2－ 8 ＝1(x≤－1)．
(2)设 P 在双曲线的右支上，|PF2|＝x(x>0)，|PF1|＝2＋x，因为 PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8， 所以 x＝ 3－1，x＋2＝ 3＋1， 所以|PF2|＋|PF1|＝2 3. 答案
答案 D
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5．经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方 程为________． 解析 x2 y2 设双曲线的方程为：a2－a2＝± 1(a＞0)把点 A(3，－1)
2 2 x y 代入，得 a2＝8，故所求方程为 8 － 8 ＝1.
答案
x2 y2 － ＝1 8 8
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解析
(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
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x2 y2 解析 若 0＜k＜5，则 5－k＞0,16－k＞0，故方程 － ＝1 16 5－k 表示焦点在 x 轴上的双曲线，且实半轴的长为 4，虚半轴的长 21－k 为 5－k，焦距 2c＝2 21－k，离心率 e＝ 4 ；同理方程 x2 y2 － ＝1 也表示焦点在 x 轴上的双曲线，实半轴的长为 16－k 5 16－k，虚半轴的长为 5，焦距 2c＝2 21－k，离心率 e ＝ 21－k .可知两曲线的焦距相等．故选 D. 16－k
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2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 a2－b2＝1 (a>0，b>0)
y2 x2 a2－b2＝1 (a>0，b>0)
图 形
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范围 对称性 性 质 渐近线 离心率 顶点
x≥a 或 x≤－a， y∈R
x∈R，
y≤－a或y≥a
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：原点 A1(－a,0)， A2(a,0) b y＝± ax A1(0，－a)，A2(0， a) a y＝± bx
答案 D
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x2 y2 3．设 a＞1，则双曲线 2－ ＝1 的离心率 e 的取值范围是 a a＋12 ( A．( 2，2) C．(2,5) c 解析 e＝a＝ ＝ b2＋a2 a2 ＝ B．( 2， 5) D．(2， 5)
a＋1 2 1＋ a
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12 1 1＋1＋a ，∵a＞1，∴0＜ ＜1， a
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考点一
双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，
动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹
方程为________． (2) 已知双曲线 x2 － y2 ＝ 1 ，点 F1 ， F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点 ，若 PF1⊥PF2 ，则 |PF1| ＋ |PF2| 的值为 ________．