速度的内积（
）：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 2）计算各连杆的动能和机器人系统总动能 设连杆 i 上任一点的质量为 dm ，其动能为：
对连杆 i 进行体积分，得到连杆 i 的动能：
式中， 称为伪惯量矩阵：
其中，
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 注意到：
以及物体的转动惯量、协转动惯量分别为：
§4 机器人动力学
• 机器人的动力学模型描述了它的动态（过程）行为，给出对 它施加控制后的行为预测，是研究机器人控制理论和控制方 法的基础。 • 与机械控制对象类似，机器人动力学模型一般也由一个二阶 微分方程组表示，但通常十分复杂，含有强非线性、强耦合 以及参数不确定性等，获得精确动力学模型十分困难，有时 甚至是不可能的。
有：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 连杆 i 的动能可写为：
此外，连杆 i 的传动装置动能为：
系统的总动能为：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 3）计算各连杆位能和机器人系统总位能，以及拉格朗日函数 一个在高度 h 处质量为 m 的物体的位能为 。 设连杆 i 上任一点的质量为 dm ，其位能为： 对连杆 i 进行体积分，得到连杆 i 的位能：
• 模型简化的必要性 1 ）动力学模型的计算过于复杂，一次逆动力学计算需 几千至几万个乘和加的运算，比较费时（采用牛顿 — 欧拉 方法可以将乘和加的运算次数降至千次以内） 2 ）动力学模型中的物理参数（主要是 Ii 中的上界为 10n个元素）一般不易准确获得，采用完全模型的意义不大 • 简化的方法 1）在低速运行时忽略向心力/哥氏力项 2）忽略惯量阵的非对角元素
系统总位能：
系统的拉格朗日函数：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 4）对拉格朗日函数求导，得到动力学方程式 将拉格朗日函数： 求导：
因为：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 所以：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 再求 ：
全部写出拉格朗日方程：
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法
§4 机器人动力学——§4.1 拉格朗日力学方法 • 动力学方程推导过程：
– – – – 计算任一连杆上任一点的速度 计算各连杆的动能和机器人系统总动能 计算各连杆的位能和机器人系统总位能，以及拉格朗日函数 对拉格朗日函数求导，得到动力学方程式
1）计算任一连杆上任一点的速度 连杆 i 上任一点 ir 在基系下的位置为 r = Ti ir ，该点的速 度为。
或写成向量方拉格朗日力学方法 • 动力学模型例（两关节机械臂）
§4 机器人动力学
§4.2 动力学模型的形式和特点
• 工作空间的动力学模型： 设 n=6，工作空间变量为 X ，驱动外力为 F ，有
设 J-1 存在，代入关节坐标动力学方程后有：
考虑到 q 是 X 的函数，则有工作空间的动力学模型：
§4 机器人动力学——§4.2 动力学模型的形式和特点 • 动力学模型特点： 1）惯量矩阵 M(q) 是 nn 阶对称正定矩阵， 半正定矩阵 2）矩阵： 是对称
均为反对称矩阵，即有：
3）动力学模型的逆解存在，即若给定 就可容易地计算需要的控制量 (F )。
（
），
§4 机器人动力学
§4.3 动力学模型的简化
• 本课程对动力学模型的研究和学习的重点将放在如下方面：
– 模型的推导原理、思路和基本步骤 – 动力学模型的形式、特点 – 动力学模型的简化
§4 机器人动力学
§4.1 拉格朗日力学方法
• 定义拉格朗日函数 L ：动力状态函数 • 系统的动力学方程（拉格朗日—欧拉（L—E）方程）：
• 设各连杆的动能为Ki ，势能为Pi ，则总动能和总势能为：