● 所以 ● 对于第二个质量： 对于第 个质量
● 所以
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采用工程方法创建2自由度的运动方程(续)
● 装配两个方程到矩阵形式
● 未知量为 2 和一对振幅
S3-12
使用矩阵方法解决相同问题（续） 使用矩阵方 解决相同 题 续
● 用矩阵形式表达运动方程 ● 代入
这意味着有一个正则模态, {} , 它随 着时间和频率成正弦变化, t.
● 和 ● 然后 ● 所以
这意味着有一个正则模态 这意味着有 个正则模态, {}, } 并且相 对于频率, 能够被计算, 当惯性与弹 簧平衡的时候
使用Create/Element/Edit在Patran下创建拓扑为Bar2的弹簧单元
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S3-18
CASE STUDY 1 – 2自由度模型的正则模态 自 度模 则模
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S3-7
采用工程方法创建2自由度的运动方程(续)
● 使用上述行列式的方程进行求解，代入
2 =
● 算得方程的两个根，1和2.
● 这些根被叫做特征值
● 使用Patran P t 和MD Nastran N t 创建模型
K DOF: 1 M 2 K M 3 K 4
● 可以给上面的模型添加任意长度，然后直接输入节点和弹簧
及质量单元到Patran。
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S3-16
CASE STUDY 1 – 2自由度模型的正则模态 自 度模 则模
使用Create/Node/Edit创建节点
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S3-17
CASE STUDY 1 – 2自由度模型的正则模态 自 度模 则模
采用工程方法创建2自由度的运动方程(续)
● 任意设置A2= 1.00，那么用相对振幅来表示正则模态或特征
向量 向量。
0.73
1.00
2.73
1.00
Mode 1
Mode 2
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S3-20
CASE STUDY 1 – 2自 自由度模型的正则模态 度模 则模
● MD Nastran的.bdf文件将包含CELAS单元的连接关系和
PELAS属性定义
PID Stiffness
$ Elements and Element Properties for region : spring_stiff PELAS 1 1000.
通过属性定义菜单定义MD Nastran弹簧 类型 ： Create/1D/Spring 输入名称 输入属性(1000 力/长度单位) 选取bar2单元
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● 然后
● 注意将radians/sec转换为cycles/sec (Hertz)
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CASE STUDY 1 – 2自由度模型的正则模态 自 度模 则模
采用工程方法创建 采用 程方 建 2自 自由度的运动方程 度 动方程(续)
● 假设x1和x2的运动是谐波，所以
这意味着他们在相同的频率上振动，但有不同 的振幅A1 和A2.
● 目标是求解频率和振幅 目标是求解频率和振幅。 ● 现在 ● 将这些方程代入到自由体图得到的方程中，得到如下内容 ● 对于第一个质量：
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S3-3
概述 (续) 概
● 前面章节考虑的是质量弹簧系统的单点自由度问题。 ● 本章将侧重于如何使用Patran和MD Nastran定义多自由度问
题的模态分析。 题的模态分析
PID
End A Grid
S3-21
DOF
End B Grid
DOF
CASE STUDY 1 – 2自由度模型的正则模态 自 度模 则模
通过属性定义菜单定义MD Nastran质 量类型 ： Create/0D/Mass 输入名称 输入属性20和40质量单位 选择集中质量选项 选取点单元
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● 还可以通过使用固有频率和正则模态来评价设计变更。特定的设计变更
会 正则模态分析常常能够提供答案。 模 供 是否会导致动态响应增加？
● 总之，可能会出于多种原因来计算结构的固有频率和模态。所有这些原
因都基于一个事实，那就是实数特征值分析是许多类型的动态响应分析 因都基于 个事实 那就是实数特征值分析是许多类型的动态响应分析 的基础。因此，对于所有类型的动态分析来说，一定要全面了解正则模 态分析，以及特定结构的固有频率和模态。
● 使用工程方法解该问题
● 首先，为质量创建自由体图。
kx1 M k(x2-x1) k(x2-x1)
2M
kx2
● 平衡惯性和弹簧项 ● 对于第一个质量 ● 对于第二个质量
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使用Create/Element/Edit. C t /El t/Edit 创建质量点单元
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S3-19
CASE STUDY 1 – 2自由度模型的正则模态 自 度模 则模
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S3-4
采用工程方法创建 采用 程பைடு நூலகம் 建 2自 自由度的运动方程 度 动方程
● 考虑一个系统具有两个质量和三的弹簧刚度，如下
图 图：
x1 k M k 2M x2 k
S3-10
使用矩阵方法解决相同问题 使用矩阵方 解决相同 题
● 现在，考虑使用矩阵方法计算该系统
● 单个单元的刚度矩阵[K1],[K2]和[K3]分别是：
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所以，这两个频率是1和2，其中惯性和弹 簧项平衡。
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S3-8
采用工程方法创建2自由度的运动方程(续)
● 将频率代入运动方程后计算得到振幅。 将频率代入运动方程后计算得到振幅 ● 但是，只能计算出振幅比。 但是 只能计算出振幅比
S3-11
使用矩阵方法解决相同问题（续） 使用矩阵方 解决相同 题 续
● 推导模态刚度矩阵[K]，将每个单元的刚度矩阵 [K1]，[K2]，
[K3]进行装配。 进行装配
DOF:
1
2
3
4
● 约束自由度1和4，数值为零。
and 在自由度上的集中质量
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$ Elements and Element Properties for region : m2 CONM2 5 3 40.
ID
Grid
Mass
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S3-2
概述 (续) 概
● 有时会将动态分析结果与物理实验结果进行比较。可以使用正则模态分
析来指导实验。在实验前的规划阶段，正则模态分析可用于指示加速计 析来指导实验 在实验前的规划阶段，正则模态分析可用于指示加速计 的最佳位置。在实验之后，可以使用正则模态分析将实验结果与分析结 果进行关联。
● 在正则模态计算时这点非常重要，及振幅的绝对值是无法
确定的 只有振幅相对于另一个振幅的比值才能确定 确定的，只有振幅相对于另 个振幅的比值才能确定。
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