绝对值的化简”例题解析
进入初中阶段，绝对值总是学生们感觉较难的问题。
无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a 取任意有理数都有||a ≥0。
下面关于绝对值的化简题作一探讨。
一、含有一个绝对值符号的化简题
1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。
如，当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简）
解：原式=-+=-2333x x x 。
2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
如，化简||x x -+52（必须进行讨论）
我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是x -5，使x -=50的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
（1）当x >5时，则x ->50是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式=-+=-x x x 5235。
（2）当x =5时，则x -=50，而0的绝对值为0，所以原式=+=022x x 或||x x -+=+=5202510×。
（3）当x <5时，则x -<50，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式=--+=-++=+()x x x x x 52525。
又如，化简||2612x y x y +-+-
此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y 看作一个整体未知数，找出界值，使260x y +-=的整体未知数的值是26x y +=，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。
（1）当26x y +>时，
||2612x y x y +-+-
=+-+
-=-2612526x y x y x （2）当26x y +=时
||2612x y x y +-+-
=+
-=-01212
x y x y （3）当26x y +<时
||2612x y x y +-+-
=-+-+
-=--++
-=--+()261226123226x y x y x y x y x y
二、含有两个绝对值符号的化简题
1. 已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。
如：当x <-5时，化简||||256x x -+
解：原式=--+-()()256x x
=-+-=-+25685x x
x
2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论
如：化简||||x x ++-321
||x +3的界值为－3，||21x -的界值为1
2
所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。
解：（1）当x >12时（界值-31212、中，为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于
大的界值）
原式=++-()()x x 321
=++-=+x x x 321
32
（2）当x <-3时，（第（2）种情况为小于小的界值）
原式=-++--()[()]x x 321
=---+=--x x x 321
32
（3）当-<<312x 时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）
原式=++--x x 321[()]
=+-+=-+x x x 321
4
又如，化简||||32624m n m n +--++
此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体
[()]6223m n m n +=+即把3m n +看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。
||32m n +-的界值为2，||624m n ++的界值为－2。
解：（1）当32m n +>时，
原式=+--++()()32624m n m n
=+----=---32624
36
m n m n m n
（2）当32m n +<-时， 原式=-+---++()[()]32624m n m n
=--++++=++32624
36
m n m n m n
（3）当-<+<232m n 时， 原式=-+--++()()32624m n m n
=--+---=---32624
932m n m n m n
三、数形结合绝对值化简题
如：有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试化简：
||||||23a b b c c a -+---。
解：由a 、b 、c 在数轴上的位置可知a b c <><000、、且c a <、c a >3、2a b < 所以原式=--+---()()()23a b b c c a
=-++--+=+-2322a b b c c a
a b c
综上所述，含有绝对值符号的化简题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，进而化简。
如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值（或两个绝对值）符号内的界值，然后分三种情况进行讨论。