2008年江苏省高中数学竞赛试卷一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为 （ ）A ．2b a +B ．abC ．222b a +D ．222b a +2．设)(x f y =为指数函数xa y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么z y x ++的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是 222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B ．111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形 C ．111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D ．111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β（ ）A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6．设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B =___________________.7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为_________________.9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10．在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222cb a +=______________. 1 20.5 1 x yz三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11．已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.12．A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。

2211+为定值；（Ⅱ）动点P 在线段AB 上，满足0=⋅，求证：点P 在定圆上.13．如图，平面M 、N 相交于直线l . A 、D 为l 上两点，射线DB 在平面M 内，射线DC 在平面N 内. 已知α=∠BDC ，β=∠BDA ，γ=∠CDA ，且α，β，γ 都是锐角. 求二面角N l M --的平面角的余弦值（用α，β，γ的三角函数值表示）.14．能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.参考答案一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.2．解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是点N . 选D.3．解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4．如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则 212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 5．解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D.二、填空题（本题满分50分，每小题10分） 6．解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-；当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x .所以31或-=x .7．解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫⎝⎛-=P .8．解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9．解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以（2,0）为焦点、2-=x 在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ， 或)0(0<=x y .10．解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=， 亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab .所以，122222=-+c c b a ，故3222=+c b a . 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11．解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即)122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-. n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分12．证 （Ⅰ）设点A 的坐标为)sin ,cos (θθr r ，B 的坐标为)sin ,cos (θθ''''r r ，则r =，r ='A 在双曲线上，则19sin 4cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθr .所以9sin 4cos 1222θθ-=r. ……5分 由0=⋅得⊥，所以θθ22sin cos ='，θθ'=22sin cos .同理，9cos 4sin 9sin 4cos 122222θθθθ-='-'='r ，3659141'11||||2222=-=+=+r r OB OA . ……10分 （Ⅱ）由三角形面积公式，=，所以==⎪⎭⎫⨯.136591411122=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⎪⎪⎪⎭⎫⎛+⨯.于是，5362=OP.即P在以O为圆心、556为半径的定圆上. ……15分13．解在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，则βtan=AB，βcos1=DB，γtan=AC，γcos1=DC，……5分并且ϕ=∠BAC就是二面角NlM--平面角. ……10分在ABCDBC∆∆与中，利用余弦定理，可得等式ϕγβγβαγβγβcostantan2tantancoscoscos2cos1cos122222-+=-+=BC，所以，αγβγβγβϕγβcoscoscos2cos1cos1tantancostantan22222+--+==γβγβαcoscos)coscos(cos2-，……15分故得到γβγβαϕsinsincoscoscoscos-=.……20分14．解（Ⅰ）不能. ……5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211+++++=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以. ……15分如右表36 2 248 12 186 72 4表中每行、每列及对角线的积都是26·23. ……20分。