《计算机在材料科学中的应用》习题课第一章 误差等概念1. 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差2. 绝对误差（限）：e=x*-x ，|e|＝|x*-x|≤ε3. 相对误差（限）：e r ＝(x*-x)/x ，|e r |＝|x*-x|/|x|≤εr4. 有效数字：|e|≤m-n 11025. 防止误差的危害：避免两相近数相减，多数作乘数或小数作除数，大数“吃”小数第二章 方程求根1. 根的存在及隔离2. 二分法：误差是()k+11b-a 23. 迭代法：'1x (x)|(x)|1 ||k k x x ϕϕε+=<-<， ，4. 加速法：'()L x ϕ≈取， 1111() L 1Lk k k k k k x x x x x x ϕ-+--+++⎧⎪⎨+-⎪⎩-＝＝（） 5. 牛顿迭代法：1000''1'111111'f()f()f ()0f ()f() f ()=c f()-f()f()()f ()=f()-f()f() f ()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x λλ++--+--+->-----g ''＝, 选取时使得简化牛顿法:，＝拟牛顿法（割线法）: ，＝牛顿下山法:＝, 选取下山因子使得1|f()|<|f()|k k x x +⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩第三章 方程组求解1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，消元因子 ()()k ikik k kka l a =消元公式 (k+1)(k)(k)ij ij ik kj (k+1)(k)(k)i i ik k a =a -l a (i,j=k+1,k+2,...,n)b =b -l b (i=k+1,k+2,...,n)⎧⎪⎨⎪⎩ 回代公式 kjn(k)(k)kjj=k+1k (k)kkb - a x x =(k=n,...,1)a∑2. 矩阵直接分解：紧凑格式3. 追赶法4. 迭代法：收敛条件1||||nii ij j j ia a =≠>∑①雅可比法迭代格式：ji n(k)i ij j=1j i(1)iib -a x x =(i=1,2,...,n) a k ≠+∑②高斯-赛德尔法迭代格式：jji i-1n(k+1)(k)i ij ij j=1j=i+1(1)iib -a x -a x x =(i=1,2,...,n)a k +∑∑第四章 插值法1. 插值多项式2012j j j j (1)n+1 ()()... , (x )= f( x )= y (j=0,1,...,n) x [a,b],() ()=()-()=()(n+1)!n n n n f x P x a a x a x a x P f R x f x P x x ξω+≈=++++=插值条件，插值节点，插值区间插值余项2. 拉格朗日插值： 插值基函数 n 001 () L ()()0 n nji j i i j i j j ix x i j l x x y i jx x ==≠-=⎧==⎨≠-⎩∑∏g ，3. 差商：10011002010122101k-2k 01k-2k-101k k k-1f(x )-f(x )f[x ,x ]=x -x f[x ,x ]-f[x ,x ]f[x ,x ,x ]=x -x f[x ,x ,...,x ,x ]-f[x ,x ,...,x ,x ]f[x ,x ,...,x ]=x -x 一阶差商二阶差商k 阶差商4. 牛顿插值公式f(x)=f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+f[x 0,x 1,x 2](x-x 0)(x-x 1)+… +f[x 0,x 1,…,x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n-1) 5. 差分（等间距节点）111122111 = () , () -() -() - - k k k k k k k k k k k k k k m m m k k k x x kh x x f f x f x x h f f f f x x h f f f f x x h f f fm f f f δ+-+---+=+-∆≡∇≡≡∆=∆∆k 0k+1k 等距节点时，（k=0,1,...,n ）,h=记则在处以为步长的向前差分：在处以为步长的向后差分：在处以为步长的中心差分：同样也有各自的阶差分111111122- -m m m k k k m m m k k k f f f f f fδδδ-----+-∇=∇∇=6. 牛顿前插公式20000001012nf f f ()=()+(-)()()....()...()()h 2!h n!h n n n f x f x x x x x x x x x x x R x -∆∆∆+--++--+7. 样条插值：三次样条插值，要求光滑、连续第五章 曲线拟合最小二乘原理2012n2i 01m j j j=1n (j=1,2,...,n),[]()...a (i=0,1,..., m),• (a ,...,a )= [P(x ) - y ] (x)(x,y ) m m p x a a x a x a x p n ϕ=++++∑j j 1n 有对数据(x ,y )在x ,x 上求一个m 次多项式适当选取使得,a 为最小值，则称为最小二乘拟合多项式是间的经验公式。

有正规方程组200010012000 ... ... ................................................. ... n n nmj j j j j j n n m j j j j n n n m m mj j j j j j x x x x x x x x ===+==+===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑00100 ........ nj j nj j j n mm j j j a y x y a a x y ===⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑列表计算累加和如下从正规方程组中解得拟合多项式的各个系数值a i (i=0,1,…,m)。

第六章 数值积分、微分1. 积分的有限过程()() nbk k k ak f x dx A f x x =≈∑⎰k ，其中A 是求积系数，是求积节点a) 插值型求积公式用插值多项式代替被积函数，()()()() ()nnnbbb bn kkkkkaa aa k k kb k af x dx L x dx f x l x dx f x l x dx f x l x dx===≈====∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰kk （）（）（）A 所以A从而在有两个求积节点时得到梯形公式 []b-a()()f(a)+f(b)2ba f x dx T f ≈=⎰ 有三个等距求积节点时得到Simpson 公式 b-a a+b f(a)+4f()+f(b)62()ba f x dx ≈⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰S(f)=2. 柯特斯公式（等距节点情况）：①柯特斯系数 ()()001(1)()!()!n k n n n kj j kCt j dt n k n k -=≠-=⋅--∏⎰ ②柯特斯求积公式（有五个等距求积节点时） []01234b-a 7f(x )+32f(x )+12f(x )+32f(x )+12f(x )90()ba f x dx ≈=⎰4C(f)=I3. 复化求积x b an h n-=k 将求积区间[a,b]作等分,并记步长值，则＝a+kh (k=0,1,...,n)。

①复化梯形公式h ()f(a)+2f(x )+f(b) 2baf x dx ⎡⎤≈=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰n-1n-1n k k k=1k=1T(f)=I ②复化Simpson 公式12k+h ()f(a)+4f(x )+2f(x )f(b) 6baf x dx S ⎡⎤≈=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑⎰n-1n-1n-1n k k k=1k=0k=1(f)=I③复化柯特斯公式113424n-10k k+k+k+k=0h7f(x )+90()(32f(x )+12f(x )+32f(x )+14f(x )+7f(b))baf x dx ≈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑⎰n C (f)=4. 步长自适应n+1h f(a)+2f(x )+f(b)2x x n+111 f(x )22⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑∑∑12n-1n-1n k k k=1k=1k k+12n n n-12n n k+k=0将求积区间n 等分后，共有个分点，可以得到积分值T =I 若将每个小区间[,]再二分，则有2个分点，此时的积分值T 与T 之间有关系如下T =T 5. 龙贝格求积公式n 2n n n 2n n n 2n n 41S =T -T 33161C =S -S 1515641R =C -C 6363⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩6. 数值微分①二点公式010111021h f'(x )=[f(x )-f(x )]-f"() h 21h f'(x )=[f(x )-f(x )]+f"() h 2ξξ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②三点公式200121210222201231h f'(x )=[-3f(x )+4f(x )-f(x )]+f"'() 2h 31h f'(x )=[-f(x )+f(x )]-f"'()2h 61h f'(x )=[f(x )-4f(x )+3f(x )]+f"'()2h 3ξξξ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩第七章 常微分方程的数值解法1. 边值问题和初值问题①边值问题 y"=f(x,y,y') yy(a)=, y(b)=αβ⎧⎪⎨⎪⎩求解边值问题可以转化为初值问题求解。

②初值问题 000y'=f(x,y) x xy(x )=y ⎧⎨⎩≥求解满足上述两式的近似值y i ，即在a ≤x 0≤x 1≤…≤x n ≤b 上的y(x i )的近 似值y i (i=0,1,2,…,n)。

通常取等距节点，即h=x i+1-x i ，有x i =x 0+ih (i=0,1,2,…,n)。

初值问题的数值解法特点：按节点顺序依次推进，由已知的y 0 , y 1 , …, y i ，求出y i+1，这可以通过递推公式得到。