，
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
§3.3 Gauss-Legendre求积公式
求积分，权数
=1， 其中（i=0，1，…，n）是n+1阶Legendre多项式的零点，求积系数
为：
（i=0，1，…，n）
具体Gauss-Legendre公式的插值节点和系数见表2（其中n为插值节
点个数， 为积分点， 为对应积分点的系数）。
表二Gauss-Legendre公式的插值节点和系数
§2.3经典Newton—Cotes公式
当n=4,5点公式称为经典Newton—Cotes公式
其中
(k=0,1,…,4)，它具有5次代数精度。
§3 Gauss-Legendre求积公式
在积分区间[a,b]内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和 求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更 有效的高精度求积公式。
在积分区间[0,1]的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进 行比较，得出关与
Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求积公式精确度的结论。
第4章 求解计算 §1Newton—Cotes公式求解的Matlab程序 §1.1方法1：
（1）在Matlab工作窗口中： fn=inline('2/(1+x.^2)'); y1=quad8('fn',0,1)
§2 Gauss-Legendre求积公式求解的Matlab程序 §2.1Gauss-Legendre方法的一些准备
Gauss-Legendre：
具有2n+1次代数精度。
当n=2时，3阶Gauss-Legendre公式在[-1，1]上有三个零点：
x0=0.7745967 x1=0
x2=-0.7745967
n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/90 19/288 6 41/840 9/35 9/280 34/105 9/280 9/35 41/840
§2.2Newton—Cotes公式误差和稳定性
在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是 因此，Newton—Cotes公式的截断误差是
（1-3） 讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算 其中计算函数值f(xn)有误差值
（k=0,1,2, …,n）。在（1-2）式中令
在Matlab工作窗口中调用函数： y1=quad8('fn',0,1)
运行结果为 y1=1.5078
（2）建立M文件： function f=fn(x) f=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2)
在Matlab工作窗口中调用函数： y2=quad8('fn',0,pi/2)
运行结果为： y2 = 1.3506
数值积分
第1章 理论依据
逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积 分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本 公式。
§1插值求积公式
为了用数值方法求，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I（Pn(x)）构造求积公式， 近似地计算定积分I(f(x))。
运行结果为： y1=1.5078
（2）在Matlab工作窗口中： fn=inline('(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2)'); y2=quad8('fn',0,pi/2)
运行结果为： y2 = 1.3506
§1.2方法2：
（1）建立M文件： function f=fn(x) f=2./(1+x.^2)
即为高斯点发，对应的Gauss求积系数为：
对于任意区间（有界区间）[a,b],将转换到。再用Gauss-Legendre 求积公式：
进行积分求解
§2.2 n=2的Gauss-Legendre方法
（1）先建立M文件： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=[h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c]; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3))) +0.88888889*gaussf(x(2))); function y=gaussf(x); y=2./(1+x.^2);
设计算
无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式计算时
引式的误差为 如果 皆为正，并设
，则
，故
有界，即
引起的误差受控制，不超过倍。保证了数值计算的稳定性。 但当n8时，
将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时 来自ewton—Cotes公式不能用。
当n为偶数时，Newton—Cotes积分公式具有n+1次代数精度。
对一般区间[a,b]上的积分，通过代换：
将转换到。再用Gauss-Legendre求积公式： 进行积分求解
第2章 问题描述
用Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求下列积公式计算积分，并 比较结果：
第3章 问题分析
题目给出的是用Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求积分的问 题，为了实现题目要求，应编写Matlab程序，实现计算被积函数
在Matlab工作窗口中调用函数： y1=gauss2('gaussf',0,1)
运行结果为： y1=1.5705
（2）先建立M文件： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=[h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c]; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3))) +0.88888889*gaussf(x(2))); function y=gaussf(x);