对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
~ L (u ~ )~ vd u ~ ~ L * (~ v )d b .t.(u ~ ,~ v )
称 ~L * 为 ~L 的伴随算子。
边界项
若 ~L * ~L 则称算子是自伴随算子。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2. 泛函的构造
x A(u)L(u)f 0
~D ~~D ~~L~u
近似解： ~ uu ~ ~i n1N ~i a~i N ~~ a[N ~1 N ~2....N .~.n]~ a
N ~1a~1N ~2a~2......N ~na~n
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
其中：
~a
a ~
1
M
a ~
n
a~1 .....a.~n 待定参数向量（未知）
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
对这类问题：
存在泛函 ，它是一个标量
(u )F (u ,u ,...)d E (u ,u ,...)d
~
~x~
~
~~~ x~
~u 是未知场函数， F~ , ~E 为特定算子。
包含 ~u 及 ~u 的1至m阶导数。
连续介质问题的解： ~u 使泛函取极值（或驻值）。 即： 0 (这种泛函我们称为单变量 ( ~u ) 泛函，当然可以有多变量)
加权余量法
§1.3 变分原理、
§1.3.1 自然变分原理 §1.3.2 修正泛函的变分原理
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
1. 线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：
• 不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解；
• 还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。
变分： a ~ 1a ~ 1 a ~ 2a ~ 2.... .a ~ n .a ~ n0
a~1,a~2.....a.~n 相互独立，
所以，0,
a ~ 1
0, a ~ 2
...,... 0 a ~ n
或
~a
0
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
由： 0得到矩阵形式
~a
K~ ~a F~
~
(u ) ~ 0
a ~
K~
a ~
F~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
1）连续性要求
N ~
满i 足
C阶m 连1 续性
2）完备性要求
N ~
取i 自完备的函数序列
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
3.特点 1) 近似解对全域而言 2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
例：最小位能原理
体系总位能
应变能
UdV
V
V
21~T
~dV
外力势能 ~uT fdV~uTT~ds
V
S
(~ u)V(2 1~ T(~ u) ~ (~ u)~ u Tf)d V S ~ u TT ~ds
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
其中： ~(~u) ~Lu~
精度与试探函数的选择有密切关系。 3) 待定系数 a~任i 意，不表示特定的物理意义。 4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程 ~L(~u)b 0 in ~L 为微分算子
若 ~L 具有性质：~ L (u 1 u 2 )~ L ( u 1 )~ L ( u 2 )
则称 ~L 为线性微分算子。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
考虑积分 ~L(u~)vd 任意函数
~~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~~
~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
微分方程的等效积分形式：
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
u T L ( u ) d u T fd u T B ( u ) d 0
~ ~ ~
其中
K ~ (~LN ~)TD~LN ~dV V
F ~VN ~T~ fd
V N ~TT ~d S
s
共有 3n 个方程，
若 N~1 ....为..N~完n 备的函数系列
则，n时， 收u ~ ~敛于精确解，
若 n 为有限项，则 u ~ 为~近似解。
上述方法为Ritz法
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法
1.求解步骤：
1）假设近似解：~u
u~~
n
i1 N~i
a~i
a ~
i
为待定参数， 满足强制边界条件。
2）将 u~~代入
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）.a.~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~
2~~~
[1u TL (u )1u TL (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~~ ~
~~
[1u TL (u )1u T L (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~ ~~
~
~ ~ ~~ ~
x B(u)0
~
~~
Galerkin（伽辽金）格式
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~~
~~ ~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~ ~
~~
整理得到： 0
[1uTL (u)uTfd ]b .t.(u)
2~~~
~~
加权余量法
~
§1.3. 1 自然变分原理
3. 自然变分原理
某些问题的物理本质往往能够以变分原理的 形式直接叙述出来。 例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中 最小能量耗散原理，称为自然变分原理。
N~1 ......N~n
试探函数矩阵（事先选定）
对三维问题 ：
Ni 0 0
N~i
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0
Ni
0
0 Ni
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
泛函：
2 1 ~ a T V (~ L N ~ )T D ~ L N ~ d~ a V ~ a T V N ~ Tfd V ~ a T S N ~ T T ~ d