x+at x−at
由 d'Alembert 公式有 1 1 v( x, t) = [(h − x + at)φ( x − at) + (h − x − at)φ( x + at)] + 2 2a 再由 (1) 知此定解问题的解. 注：此问题也可由 (1) 并利用初始条件决定 F 和 G. 例 2.2 问初始条件 φ( x) 与 ψ( x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播 波组成? 解: 由题意知 1 1 G ( x ) = φ( x ) + 2 2a 故 G ′ ( x) = 0, 即 ∫
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E ( x)u x | x , E ( x)u x | x+∆ x . B 段的运动方程为 S ρ( x)∆ x ∂2 u ( x, t) = E ( x)S u x | x+∆ x − E ( x)S u x | x ∂t 2
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆ x → 0, 有 ( ) ( ) ∂u ∂ ∂u ∂ ρ( x) = E ( x) . ∂t ∂t ∂x ∂x 例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件. 解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0; u ∂u (2) 端点自由, 即端点处无外力作用. 在左端点 S E (0) ∂ ∂ x (0, t) = 0, 即 ∂ x (0, t) = 0. 同理右端 u 点∂ ∂ x (l, t ) = 0 . (3)端点固定在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性 系数设为 k, 则 ∂u S E (0) (0, t) = ku(0, t), ∂x 同理右端: ( ( ∂u − + hu ∂x ) = 0.
第一章
波动方程
齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院 Email: htqisdu@ September 28, 2011
目录
1 方程的导出、定解条件 2 达朗贝尔公式、波的传播 3 初边值问题的分离变量法 4 高维波动方程的柯西问题 5 波的传播与衰减 6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 2 4 7 10 13 14
1
1
方程的导出、定解条件
例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u( x, t) 表示静止时在 x 点处的点在 时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证明 u( x, t) 满足 方程 ( ) ( ) ∂ ∂u ∂ ∂u ρ( x) = E , ∂t ∂t ∂x ∂x 其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量. 解: 由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 ( x, x + ∆ x) 上的小段 B 为代表加以研 究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u( x, t) 和 u( x + ∆ x, t) = u( x, t) + ∆u, B 段的伸长为 u( x + ∆ x, t) − u( x, t) = ∆u, 相对伸长则为 u( x + ∆ x , t ) − u( x , t ) ∆u ∂u = = ( x, t), ∆x ∆x ∂x ∆ x → 0.
例 1.6 若 F (ξ), G(ξ) 均为其变元的二次连续可导函数, 验证 F ( x − at), G( x + at) 均满足弦振 动方程 (1.11). √ 例 1.7 验证 u( x, y, t) = 1/ t2 − x2 − y2 在锥 t2 − x2 − y2 > 0 中满足波动方程 utt = u xx + uyy . 3
1 − ka C1 G ( x) − , 1 + ka 1 + ka C1 1 − ka G(at − x) − . F ( x − at) = F (−(at − x)) = 1 + ka 1 + ka 1 1 − ka ka ⇒ u( x, t) = φ( x + at) + φ(at − x) + φ(0). 2 1 + ka 2(1 + ka) 例 2.6 求解初边值问题 utt − u xx = 0, 0 < t < kx, k > 1, u|t=0 = φ0 ( x), x ≥ 0, ut |t=0 = φ1 ( x), x ≥ 0, u|t=kx = ψ( x),
其中 k 为正常数. 解: 波动方程的通解为 u = F ( x − at) + G( x + at), 由初始条件得 F ( x) + G( x) = φ( x), −aF ′ ( x) + aG′ ( x) = 0
1 C 1 C F ( x) − G( x) = C, F ( x) = φ( x) + , G( x) = φ( x) − , 2 2 2 2
x=l) =0xFra bibliotek0h=
k . E ( x)S
∂u + hu ∂x
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为 [ ] ( ∂ ( x )2 ∂u x )2 ∂2 u E 1− =ρ 1− , ∂x h ∂x h ∂t2 其中 h 为圆锥的高. 2
解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径) ρV ( x) 其中 ∂2 u ∂u ∂u ( x, t) = ES ( x + ∆ x) ( x + ∆ x, t) − ES ( x) ( x, t) 2 ∂x ∂x ∂t ( x )2 S ( x ) = πR2 1 − . h
O .
∂u sin α1 ≈ tan α1 = ( x, t). ∂x 由 (2) 知 [ ] ∂u( x) ∂ ∂2 u T ( x) =ρ 2 ∂x ∂x ∂t [ ] ∂2 u ∂u ∂ (l − x) . ⇒ 2 =g ∂x ∂x ∂t
T
例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质 中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题. 解: k, σ 为正常数 utt − a2 u xx + kut = 0, 0 < x < l, t > 0, u|t=0 = φ( x), ut |t=0 = ψ( x), u| x=0 = 0, (u x + σu)| x=l = 0.
C 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G( x + at) = 1 2 φ( x + at) − 2 . 当 x − at ≥ 0 时, 1 C 1 F ( x − at) = 2 φ( x − at) + 2 . 此时 u( x, t) = 2 [φ( x + at) + φ( x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条 件知
x x0
(h − ξ)ψ(ξ)dξ.
ψ(ξ)dξ −
C ≡ const. 2a
aφ′ ( x) + ψ( x) = 0.
例 2.3 利用传播波法, 求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t 2 ∂ x2 u| x−at=0 = φ( x), u| x+at=0 = ψ( x), (φ(0) = ψ(0)). 解: 设 u( x, t) 具有行波解 u = F ( x − at) + G( x + at), 由边界条件得 F (0) + G(2 x) = φ( x), F ( x) = ψ( x/2) − G(0), F (2 x) + G(0) = ψ( x).
其中 φ0 (0) = ψ(0). 解: 当 x − t ≥ 0 时, 由 d'Alembert 公式有 1 1 u( x, t) = [φ0 ( x − t) + φ0 ( x + t)] + 2 2 ∫
x +t x −t
φ1 (ξ)dξ.
x − t < 0 时, 取 u = F ( x − t) + G( x + t). 当 t = x 时, 它应与上式的解相同. 当 t = kx 时, 利用边 界条件有 ∫ 1 1 2x F (0) + G(2 x) = [φ0 (0) + φ0 (2 x)] + φ1 (ξ)dξ, 2 2 0 5
G( x) = φ( x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ(0). ( x − at ) ( x + at ) ⇒ u( x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2 4
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f ( x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [ x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [ x1 , x2 ] 的影响区 域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [ x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域中解的数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 u xx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ( x), ut |t=0 = 0, u − ku | x t x=0 = 0,
(h > 0 常数)的通解可以写成
解: (1) 令 v( x, t) = (h − x)u( x, t) 并代入方程得 vtt = a2 v xx , 进而 u= (2) { F ( x − at) + G( x + at) v = . h−x h−x