再l由 im ( z)0, z 0
所 lz 0 i 以 f( m z 0 z ) f( z 0 ) , 即 f(z)在 z0连.续
反过来，由2例 可知， f(z)2x3y不 i 可 ; 导 但二元 u(x,y函 )2x 数 ， v(x,y)3y连续， 续性定f(z理 )2x ， 3y知 不 i 可 . 导
注意 zz0(即 z 0)的方式是 . 任意
也即 z0z在区D域 内以任意方 z0时 式 , 趋于 f(z0z)f(z0)都趋于同.一个数
z
5
例 1求函 f(z)数 z2的导 . 数
解 f(z)lim f(z z)f(z)
z 0
z
lim(zz)2z2
z0
z
lim (2zz)2z z 0
(z2) 2z
f(z)＝zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xy f(z)在整个复平面连续
u2x, u0, vy, vx x y x y C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y) 在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。
22
• Q 研究 f (z) 在xy 的可z 导0性。（说明在上面 定理中 u(x,y),v的(x,可y)微性不可去） Q 判别函数 f(z)x2的y可2i导点。
注意：1） f (z在) 点 z0可x0微y等0i 价于它在该 点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 (x0, y可0) 微。 2）一个二元实函数在某点可微的充分条件是： 它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是 连续。
21
判别可导性
P33,4(3) 判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪 些点连续。
6
例2 问f(z)2x3yi是否可导？
解 li m flim f(z z)f(z)
z 0 z z 0
z
li2 m (x x) 3 (y y)i 2 x 3 yi
z 0
x yi y
lim2x3yi z0 xyi
z o
y0 x
设 z沿着平 x轴 行 的 于 直0 线 ， 即 趋 x 向 0 于 y0
数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导. 事， 实 f(z 由 ) 上 在 z0 点,可 必导 有
lz i0m f(z0 zz )f(z0)f(z0) 0
令 ( z)f(z 0 z z ) f(z 0 ) f(z 0 )
9
f(z0 z)f(z0 ) f( z 0 ) z ( z ) z ,
复变函数
任群
北京理工大学理学院
1
第二章 解析函数
本章首先介绍连续函数与函数导数的 概念，重点研究解析函数，并探讨了解析 函数与调和函数的关系，最后介绍几个基 本的初等函数.
2
§2-1 复变函数的导数
一Δ、导数的概念及其求导法则 二、微分的定义及其可微的充要条件
3
一Δ、导数的概念及其求导法则
(1) 导数的定义
证设 明 f(z 0 )存在 A f ， (z 0 )， 且 则 记
lim f(z0z)f(z0) A
z 0
z
令
f(z0 z)f(z0)A
z
15
则
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) A z z
且
lim 0.
z0
这说明 f(z)在 函z点 0可 数微。
反过来可容易证明
16
23
例1 试证函数 f (z)（ znn为自然数）在复平面上处
处可导，且
f '(z)nzn1
证 用定义来证明．
对于复平面上的任意一点 z ，由导数定义有
于是，
在点z的导数存在且等于
由点 z 在复平面上的任意性，证得
上处处可导．
函数
在复平面解析．
． 在复平面
24
例2 设 f(z)zRez定义在复平面上，试证 f ( z)于 复平面上仅在原点可导．
7
lim2x3yi lim2x2 z0 xyi x0 x
设 z沿着平 y轴 行 的 于 直0 线 ， 即 趋 x0 向于 y 0
lim2x3yi lim3yi3 z0 xyi y0 yi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0 y
所以 f(z)2x3y的 i 导数 z
不存 . 在
o
y0 x
8
(2) 可导与连续的关系 函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函
可证得函数 f (z) z 在复平面上处处不可 导．该函数在复平面上是一个处处连续,但又处处 不可导的函数.
27
0 用L’Hospital法则求 0 型的极限
P34,6 设函数f(z)和g(z)在点z0可导且g'(z0) 0，f(z0)g(z0)0 试证等式 limf (z) f '(z0)
zz0 g(z) g'(z0)
f'(z)uvivui x x y y
条件(*)常称为柯西—黎曼条件（C.— R.条件）．
19
由该定理f(， z)u(可 x,y) 得 iv (x,函 y)在 数 点 z0x0i0 y处的导 : 数公式
f(z0) u xi x v1 i u y y v.
20
推论：设 f(z)u(x,y)。v(若x,y)i 和 u(x在, y) v(x, y) 的四个一阶偏导函数在点 (x0, y均0) 连续并且满足 C-R 方程，则 f (z在) 点 z0x处0可y0i导。
引理w 告 f(z)在 诉 z0 可 我 导 z0 可 们 与 微 ， . 在 与一元函数类似地, 记
d w f ( z 0 ) z f ( z 0 ) d z ,
如果f函 (z)在 数 区D 域 内处处 ,则可 称微 f(z)在 区D 域 内可 . 微
d w f(z)d z
17
2. 充要条件
Cauchy-Rieman简介
18
柯西——黎曼条件方程（C.— R.方程）
定理:设函数 f(z)u(x,y在)v 区(x,域y)iD内确定，则函数在
点
z0可导x0的y充0i 分D必要条件是：
⑴ u(x与, y) v在(x, y) 可z0微．x0y0i
*
⑵
u x
v y
u v y x
f (在z) z的x导y数i为
说明: (1)当g'(z0) 0 而 f '(z0) 0时，极限为无穷大。
((23))当z f'( z0的)情g'形(z0，)可0用时，可1z继把续问用题L’转Ho化sp为ita求l法则求0极的限极限
如: lz iz m si1 zn l i0s m in l i0m c1o s1
28
证: l z z 0 i g f( ( z z m ) ) l z z 0 i g f( ( z z m ) ) g f( ( z z 0 0 ) ) l z z 0 i g f( ( m z z ) ) g f( ( z z 0 0 ) ) z z z z 0 0 g f''( ( z z 0 0 ) )
证 用定义来证明．
若
，则因
所以， f ( z)在点
可导．
25
若
，则有
令
，于是有
由于上式当 在过点 z 平行于虚轴的直线上趋于０
（即
）时，其极限为 x ，而当 在过点 z
平行于实轴的直线上趋于０（即
）时，其极
限为
，所以，当
时，
不存在，故 f ( z) 在点
处不可导．
26
f(z)zRez 于复平面上仅在原点可导．
然而，复变函数的导数要求极限存在与 变 量 z 趋于 z0 的方式无关, 这与二元实函数的极限 相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个 二元实函数的导数？
上节例 2说明问题不是那么简单。
13
二、微分的定义及其可微的充要条件
1. 可微的概念
定义设 ：函w数 f(z)在z0的某个邻域内有定 若存在复A， 常使 数得
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(3) 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数
中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变 函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因 而实函数中的求导法则可推广到复变函数中， 且证明方法相同，此处略.
求导公式与法则: (1) (c)0, 其c为 中复 . 常数
(2 ) (zn)nn 1 z, 其n 为 中正 . 整数
定1 义 设 wf(z)是定义D 上 于的 区复 域 , 变 z0D， z0zD, 如果极限
lim f(z0z)f(z0)
z 0
z
存在， f(z则 )在z称 0可.导 这个极限 f(z值 ) 称 在z0的导 , 记 数作 f(z0).
4
f(z0)d d w zzz0lz i0m f(zz ) zf0(z0) 如果函 f(z)数 在区D内 域的每一 , 则 点可 称f(z)在区域 D可内 .导 此时，D 在 上区 的域 导数构记 成为 f导 (z).函
11
( 3 )f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ). ( 4 ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
(5 ) g f( (z z ) ) f(z )g (z g )2 (z f )(z )g (z ). (g (z ) 0 )
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) A z z
其 lz 中 i0m 0 ，f则 (z)在 称 z0 可 点微。
复变函数可微的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致。
复变函数可微与可导是否也具有一元实变 函数可微与可导的关系？
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引理 复变w函 f(z数 )在 z0可导的充要 f(z)在z0点 处可A 微 f(z0 ， ). 且