第7章复习与思考题求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何X 。
• [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =®(x*)为®(X )的不动点 故称X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。
5•什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶P219设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差e k = x k - x *满足渐近关系式—t C,C =const 式 0 e/则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6•什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:当| f (X k )卜J 时收敛。
7•什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量)8•什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229X-mX k 1 =X kf (X k ) f (X k )设已知方程f （x） = 0的三个近似根，X k，X k^，X k^2，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点X k卅作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。
9•什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。
10. 什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）11. 判断下列命题是否正确：（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3 ）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（5 ）求多项式p（x）的零点问题一定是病态的问题（错误）（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（8）牛顿法有可能不收敛（正确）（9）不动点迭代法X k 1 =「（X k），其中八（x*），若|「（X*）卜：1则对任意处置x0迭代都收敛。
（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）习题1、用二分法求方程x2_x-1=0的正根，要求误差::0.05。
［解］令 f(x)=x —X-1，则 f(0) = -1，f(2)=1，所以有根区间为 0,2 ； 又因为，所以有根区间为1,2 ；f(1.5) =1.52 -1.5 -1 - -0.25，所以有根区间为 1.5,2 ；f(1.75) M752 -1.75 -1 =5 • 0，所以有根区间为 1.5,1.75 ；161f(1.625) =1.6252 -1.625 -1 0，所以有根区间为 1.5,1.625 ；64 f(1_L) =(1_L)2 —1_L —1 =_旦 c0，所以有根区间为 V 9 ,1.625 i ；16 16 16 256 < 16 丿取 x 、1 (1 915) J 9 =1.59375 ,2 16 8 321 9 1这时它与精确解的距离:::(1.625 -1 9 ) = < 0.05。
2 16 322. 为求方程x 3 -X 2 -1 =0在X 。
=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形 式，并建立相应的迭代公式： 1)X=11/x 2，迭代公式 X k1 =1 1/x"；2) x 3 =1 x 2，迭代公式 X k 1 =3、1 • X ：； 3) x 2 -——，迭代公式 X k 1 = 1/ •： X k -1 ；x T试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似 值。
［解］1 )设®(x) =1 + $，则®(X )= ~~3，从而 I®(1.5)1 =|-了23 =盘 * 1，所以 迭代方法局部收敛。
2) 设(x) = 3 1 X 2，则：(x)二彳 x(1 x 2) 3，从而3)设④(x) ，则® "(X )= -^(x T) 2，从而I® "(1.5)1 =-如―12珥1.5)| = 22 2 — 一勺.5(1 +1.52) 33O 1，所以迭代方法局部收敛。
1(0.5)_2 2所以迭代方法发散。
3J4)设「(X)= x 3— 1，则:(x) x 2 (x 3 — 1) 2，从而3 19 丄 94(1.5)|= 3".5(号)=住>1，所以迭代方法发散。
2 8 <383. 比较求e x • 10x — 2 = 0的根到三位小数所需的计算量：1)在区间0,1内用二分法；2 )用迭代法X k.1 =(2—e x k)/10，取初值X 0 =07. 用下列方法求f (x) = x 3 -3x 「1 = 0在x 0 = 2附近的根。
根的准确值 X *=1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。
4 牛顿法J 3?弋32 - 17 丸.035780，16有根区间为_1* 16,32 ； f(-e 64 - 39 <0，有根区间为32一64,32吧)二 e 128 - 73 ::: 0，64有根区间为□ 3 ；_128'3223f(23^e--141 256 128 ：0, 有根区间为 _256,32 f(：2) 47 = e 512 277 256 有根区间为蠢5：； f( 93 1024) 931024559 512 有根区间为 国］. _256,1024 '5 弦截法，取x0=2“ =1.9(3)抛物线法，取X0 =1必=3,x2 =2f(X k)二X k [解]1 ) X k X k - v、f (X k)x；_3x k_1 2x3+13xk-3「2x“2,3x：-3 'X i32 2 13 22 -3J7 =1.888889 ,9105555616「.87945，迭代停止。
X k 1 二X kf(X k)2)(X kf (X k) - f (X k」)xk - 3x k - 1-3x k _ 1) _ (x k」3x k J_1严")X k X kj(X k - X kj) - 12 2X k X k X kj X k」-3X i = 1.9, x21.9 2 (1.9 2) ■ 1-2 2~1.9 1.9 2 2 -315.828.411582841= 1.881094X 31582汉1.9沢(--- +1.9) +1841 841(1582)2 1582 1.9 . 1.92_3841 84129558143.42 8411582迭代停止。
"158221582 1.9 841 0.61 8412J026542442=1.879411 5462043213)X k 1 二X k _ f (X k).2 ，其中灼士普—4f (X k)f[X k,X k』X k』=f [ x k , x k 4] f [ x k , x k x k』(x k - x k 4 ) , X o =人X1 = 3,X2 = 2f(X0)=-3 , f(X1)=17 , f(X2)=1 , f [ X0, X1 ]：X1 —X0 17十—0 ,3 -1f[X2, X1]戸f(X2)- f (xjX2 _X1一仃吨,2 -3f[X o,X1,X2】f [X1,X2]- f[X o,X1]X2 _Xo 16一10 =6 , 0 =16+6(2-3)=10 , 2-110 102 -4 1 6 21-1.9465745，下略。
10 、768.分别用二分法和牛顿法求x-tanx=0的最小正根。
解：0是函数的一个根，0〜二时，x 单调递增，tanx 单调递减，趋于负无穷。
2在此区间内，函数没有根。
所以，最小正根大于 -.2当x 接近且大于二时，函数值为正，当x 接近且大于时，函数值为负。
因此, 2 2最小正根区间为(二,),选择x 仁2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数 2 2 值为 4.260>0按二分法计算，略，x * =4.493424。
按牛顿迭代法，其迭代公式为f(&)轨—ta nx/X k 1 — XkXk …f (x k )(1-ctanxk )，取初始值 x=4.6，得 x ^ 4.4934249. 研究求/a 的牛顿公式X k1」(x k • a ), X 。
.0,证明对一切k =1,2,…，2X kx k _ a 且序列x 1, x 2/是递减的。
证:减的。
10. 对于f(x) =0的牛顿公式x k 厂x k - f(x k )/f (x k )，证明r\**、 .*R k =(X k -X k 」)/(X k 丄「X k R 收敛到- f (x )/(2 f (x ))，这里 x 为 f (x) =0 的根。
证:2 R k =(& -X k4)/(X k4 -XkQ =-f (X kJ / f (X k4) -(-f(X2)/f (X k 』22R 1 二区 1 -X k )/(X k -X k" _ -f (xj/f "(xj「(-f(x 」/f D 2显然，X k A 0， 又因为 X" - ja =l(X k +旦)—Ua =(Xk- '_0，所以X k2X k忑一 a k=1,2,，又I -忑=抽a)-x X k2X k2k兰0，所以序列是递R k 1 -R k-f (xQ / f "(xQ (-f (x 」/ f (X 」)2-f(X k4)/ f (X k 4)(-f (X k® / f (X k 』)2、211. 用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程f （x“ sinx —2 的 一个近似根，准确到10^，初始值X o 二二 2牛顿法（4.13）, m=2需要计算到 10出，取二=3.1415926。