6. 随机数法
选择一个随机函数，取关键字的随机函数值
为它的哈希地址，即H(key)=random (key)，其中
random为随机函数。
通常，当关键字长度不等时采用此法构造哈
希函数较恰当。
实际工作中需视不同情况采用不同的哈希函数。通
常考虑的因素：
(1)计算哈希函数所需时间(包括硬件指令的因
素 )；
H(84)=(6+2) mod 19=8 H(14)=14 mod 13=1 (冲突) H(27)=27 mod 13=1（冲突） H(14)=(1+1) mod 19=2 H(55)=55 mod 13=3 H(20)=20 mod 13=7 H(27)=(1+1) mod 19=2 (冲突) H(27)=(1+2) mod 19=3 (冲突) H(27)=(1+3) mod 19=4 ……
找单链表中第一个结点的次数为1，第二个结点
次数为2，其余依次类推。
平均查找长度： ASL=1+α/2
例：给定关键字序列 {11，78，10，1，3，2，4，
21}，试分别用顺序查找、二分查找、二叉排序树
查找、平衡二叉树查找、哈希查找(用线性探查法 和拉链法)来实现查找，试画出它们的对应存储形 式(顺序查找的顺序表，二分查找的判定树，二叉 排序树查找的二叉排序树及平衡二叉树查找的平
① 构造好的哈希函数，使冲突尽可能的少 ② 设计有效的解决冲突的方法
1.2 哈希函数的构造方法
1.直接定址法
取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址，即 （K）=K 或 H（K）=a * K + b（其中a、b为常数）。
例：关键码集合为{ 100，300，500，700，800，900 }， 选取哈希函数为 Hash(key)=key/100，则存储结构（哈希 表）如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
例 关键码集为 {47，7，29，11，16，92，22，8，3}，
设：哈希表表长为m=11；
哈希函数为Hash(key)=key mod 11； 拟用线性探测法处理冲突。建哈希表：
0
1
2
3
4
5
6
3
7
7
8
29
9
8
10
11 22
47 92 16
线性探测法的优点：只要哈希表未被填满，保证 能找到一个空地址单元存放有冲突的元素； 线性探测法的缺点：可能使第i 个哈希地址的同 义词存入第i+1 个哈希地址，这样本应存入 第i+1个哈希地址的元素变成了第i+2个哈希 地址的同义词，……，
二分查找的判定树（中序序列为从小到大排列的 有序序列）
4
2
11
1
3
10
21
78
由图可得：二分查找的成功平均查找长度为
ASL=(1+2*2+3*4+4)/8=2.625
二叉排序树（关键字顺序已确定，该二叉排序树应唯一） 如图(a)所示，平衡二叉树（关键字顺序已确定，该平衡二 叉树也应该是唯一的），如图(b)所示。
因此，可能出现很多元素在相邻的哈希地址 上“堆积”起来，大大降低了查找效率。 可采用二次探测法或伪随机探测法，以改善 “堆积”问题。
1.开放地址法
（2）二次探测法 二次探测法对应的探查地址序列的计算公式为：
Hi = ( H(k)+di ) mod m
其中di =12,-12,22,-22,…,j2,-j2 (j≤m/2)。
(2)关键字的长度；
(3)哈希表的大小；
(4)关键字的分布情况； (5)记录的查找频率。
1.3 处理冲突的方法
1.开放地址法
开放地址就是表中尚未被占用的地址，当新插入的记
录所选地址已被占用时，即转而寻找其它尚开放的地址。
（1）线性探测法 设散列函数 H（K）=K mod m （m为表长），若发生 冲突，则沿着一个探查序列逐个探查，那么，第i次计算 冲突的散列地址为： Hi=(H(K)+di) mod m (di=1,2,…,m-1)
衡二叉树，两种哈希查找的哈希表 )，并求出每一
种查找的成功平均查找长度。设哈希函数为： H(k)=k mod 11，哈希表表长m=11。
顺序查找的顺序表（一维数组）
0 1 2 3 1 4 3 5 2 6 7 8 9 10 11 78 10 4 21
由图可得：顺序查找的成功平均查找长度为
ASL=(1+2+3+4+5+6+7+8)/8=4.5
序号 H(K) 1 1 2 2 5 3 4 9 11 5 6 7 8 21 9 10 27
13 16
2.冲突 两个不同的关键字具有相同的存储位置。
序号 H(K) 1 1 2 5 3 4 9 5 6 7 8 21 9 10 27
13 16
2
11
3.哈希表
根据设定的哈希函数 H(key) 和处理冲突的方
法将一组关键字映象到一个有限的连续的地址集
（区间）上，并以关键字在地址集中的“象”作
为记录在表中的存储位置，这种表便称为哈希表， 这一映象过程称为哈希造表或散列，所得存储位 置称为哈希地址或散列地址。
在哈希存储中，若发生冲突，则必须采取特殊的方法
来解决冲突问题，才能使哈希查找能顺利进行。虽然冲突 不可避免，但发生冲突的可能性却与三个方面因素有关。
11 22
(j≤m/2) 9 10
8
2
3
3
4
5
6
7
7
8
29
47 92 16
若di＝伪随机序列，就称为伪随机探测法
2.链地址法
基本思想： 将具有相同哈希地址的记录链成一个单链表，
m个哈希地址就设 m个单链表，然后用一个数组
将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动
态的结构。
优点：插入、删除方便。
缺点：占用存储空间多。
(1)装填因子α； 装填因子是指哈希表中己存入的元素个数 n 与哈希 表的大小 m 的比值，即α=n/m（α<=1）。 α越小，发生冲突的可能性越小，反之，发生冲突的 可能性就越大。但是，α太小又会造成大量存贮空间的浪 费，因此必须兼顾存储空间和冲突两个方面。
(2)所构造的哈希函数;
(3)解决冲突的方法。
例：设有一组关键字{ 19, 01, 23, 14, 55, 20,
84, 27, 68, 11, 10, 77 } ，采用哈希函数为：
H（k）=k mod 13。采用开放地址的线性探测法解
决冲突，试在0～18的散列地址空间中，对该关键 字序列构造哈希表。 解：依题意 m=19，得到线性探测法对应的探查地
100 300 500 700 800 900
优点：以关键码 key 的某个线性函数值为哈希地址，不会 产生冲突。 缺点：要占用连续地址空间，空间效率低。
2.除后余数法
取关键字被不大于散列表表长 m 的数 p 除后所得的 余数为哈希函数。即 H（K）=K mod p （p≤m） 经验得知：一般可选 p 为质数或不包含小于 20 的质因 素的合数。
7
8 10
3.再哈希法 Hi= RHi(key) RHi 均是不同的哈希函数，即在同义词产生 地址冲突时计算另一个哈希函数地址，直到冲突
不再发生。不易产生“聚集”，但是增加了计算
时间。 4.建立一个公共溢出区
1.4 哈希表的查找及其分析
散列表的目的主要是用于快速查找。 在建表时采用何种散列函数及何种解决冲 突的办法，在查找时，也采用同样的散列函数 及解决冲突的办法。
^ ^ ^ ^ ^
10 21 ^
由图可得：链地址法的成功平均查找长度为
ASL=(1*6+2*2)/8=1.25
小结
1. 掌握查找的基本概念； 2. 熟练掌握静态查找表的查找算法思想并灵 活应用； 3. 熟练掌握动态查找表的特点以及二叉排序 树、平衡二叉树的各种操作思想 4. 了解B-、B+树的概念及插入和删除操作； 5. 熟练掌握哈希表的基本概念、哈希函数的 构造方法和解决冲突的方法，并能计算平均查找 长度。
址序列计算公式为：
di=(H(k)+j) mod 19; j=1,2,……,18
其计算函数如下：
{19,01,23,14,55,20,84,27,68,11,10,77}
H(19)=19 mod 13=6 H(01)=01 mod 13=1 H(23)=23 mod 13=10 H(84)=84 mod 13=6 (冲突) H(84)=(6+1) mod 19=7 (冲突)
3.平方取中法
取关键字平方后的中间几位为哈希函数。因为中间几 位与数据的每一位都相关。
例：2589的平方值为6702921，可以取中间的029为地址。
4.数字分析法
选用关键字的某几位组合成哈希地址。 选用原则应当是：各种符号在该位上出现的频率大致相同。 例：有一组（例如80个）关键码，其样式如下： 讨论： 3 4 7 0 5 2 4 ① 第1、2位均是“3和4”，第3位 3 4 9 1 4 8 7 3 4 8 2 6 9 6 也只有“ 7、8、9”，因此，这几 3 4 8 5 2 7 0 位不能用，余下四位分布较均匀， 3 4 8 6 3 0 5 可作为哈希地址选用。 3 4 9 8 0 5 8 ② 若哈希地址取两位（因元素仅80 3 4 7 9 6 7 1 个），则可取这四位中的任意两位组 3 4 7 3 9 1 9 合成哈希地址，也可以取其中两位与 位号：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 其它两位叠加求和后，取低两位作哈 希地址。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18