2016中考数学复习-二次函数与三角形的面积问题
二次函数与三角形的面积问题
1.运用
2铅垂高
水平宽⨯
=
s；
2.运用y；
3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。
类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行
例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:
（1）抛物线解析式；
（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；
（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△
ABE、△OCD、△OCE。
一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法
求出图形的面积。
训练1.如图所示，已知抛物线()
02
≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于
两点A ()0,1
x ， B ()0,2
x ()2
1
x x
<，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线
顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。
（1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。
类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。
（歪歪三角形拦腰来一刀）
关于2
铅垂高
水平宽⨯=
∆
S
的知识点：如图1，过△ABC 的
三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.
x A B O C
y B
铅垂高
水平宽
h
a
图1
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S
ABC
2
1=
∆，即
三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？
例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB
S
∆；(3)是否存在一点P ，使S
△PAB =8
9
S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D
y ；
铅垂高D
C
y y CD -=，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB
的上方还是下方?
图-2
x
C O y A
B
D
1
1
训练2.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.
C
B
A
O
y
x
D
B
A
O
y
x
P
(3)
x
y
A B
C
P
E O
x
y A B C
Q O
训练 3.如图，抛物线
c
bx x y ++-=2与x 轴交于
A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为
D
C y y C
D -=。
为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.
因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD 的关键；
②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为
B
A x x A
B -=.为了保证这个
差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A 、B 的坐标，是求水平宽的关键.
③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.
练习
1．已知如图，矩形OABC 的长3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。
（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；
（2）若P ，A 两点在抛物线y=－43
x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。
第1题图
2．如图①，已知抛物线3
2+
y（a≠0）与x轴交于点
=bx
ax
+
A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
图①图②
3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c
+
=2的图
x
y+
bx
象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四
边形ABPC的面积最大并求出此时
P点的坐标和四边形ABPC的最大
面积.
4．如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，
当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积
最大？并求出最大面积．
K N C E D G A x y O B F。