2007年文科数学（宁夏）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450Ｂ．2500Ｃ．2550Ｄ．2652y x11-2π-3π-O 6ππyx11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π O 6π-πyxπ2π-6π-1O 1-3πＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始1k =0S =50?k ≤是2S S k=+1k k =+否输出结束6．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则a d 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+Ｄ．2213FP FP FP =·8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．7210．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在A B 上，SO ⊥底面A B C ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．πＢ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π2020正视图 20侧视图101020俯视图12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分）如图，A B C D ，，，为空间四点．在A B C △中，甲的成绩 环数 7 8 910 频数 5 5 5 5乙的成绩 环数 7 8 910 频数6 4 4 6丙的成绩 环数 7 8 910频数4 6 6 4D22AB AC BC ===，．等边三角形A D B 以A B 为轴运动．（Ⅰ）当平面AD B ⊥平面A B C 时，求C D ；（Ⅱ）当AD B △转动时，是否总有A B C D ⊥？证明你的结论． 19．（本小题满分12分） 设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与P Q共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．．22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知A P 是O 的切线，P 为切点，A C 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在P A C ∠的内部，点M 是B C 的中点．（Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求O A M A P M ∠+∠的大小．APOMCBPDCB AAOSCB2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ13．3 14．1 15．44i - 16．121．【解析】由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-.答案：A 2．【解析】p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >答案：C3．【解析】π3()sin 2,32f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

答案：A 4．【解析】1322-=a b (12).-，答案：D5．【解析】由程序知，15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯= 答案：C6．【解析】曲线223y x x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，成等比数列知，12 2.ad bc ==⨯=答案：B 7．【解析】由抛物线定义，2132()()(),222p p p x x x +=+++即：2132FP FP FP =+．答案：C8．【解析】如图，180********.33V =⨯⨯⨯=答案：B（8题图） （11题图） 9．【解析】22cos 2cos sin 22(sin cos ),π22sin (sin cos )42αααααααα-==-+=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+=C BFAOyx答案C10．【解析】：(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2e ，因此切线方程为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以：2211.22AOB eS e ∆=⨯⨯=答案：D11．【解析】如图，2,90,2,AB r AC B BC r ⇒=∠==3111122,3323A B C V SO S r r r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=三棱锥333441,::4.333V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥答案：D 12．【解析】(78910)58.5,20x +++⨯== 甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙 2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-== (710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得 答案：B13．【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线， 垂足分别为B 、C ，则：||||6 3.||||2OF FC c OA AB a =⇒== 答案：314．【解析】(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-⇒+=∴=- 答案：-1 15．【解析】238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++= 答案：44i -16．【解析】46563,a a a +=⇒=1515135510 1.22a a a S a ++=⨯=⨯=⇒=511.512a a d -∴==-答案：1217．解：在B C D △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin B C C D B D CC B D=∠∠．所以sin sin sin sin()C D BDC s BC CBDβαβ∠==∠+·．在A B C R t △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．解：（Ⅰ）取A B 的中点E ，连结DE CE ，，因为A D B 是等边三角形，所以D E A B ⊥．当平面AD B ⊥平面A B C 时，因为平面ADB 平面A B C A B =，所以D E ⊥平面A B C ，可知D E C E ⊥ 由已知可得31DE EC ==，，在D E C R t △中，222CD DE EC=+=．（Ⅱ）当A D B △以A B 为轴转动时，总有A B C D ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面A B C 内时，因为A C B C A D B D ==，，所以C D ，都在线段A B 的垂直平分线上，即A B C D ⊥．（ⅱ）当D 不在平面A B C 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因A C B C =，所以A B C E ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面C D E ，由C D ⊂平面C D E ，得A B C D ⊥． 综上所述，总有A B C D ⊥．19．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．20．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．EDBCA当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)((31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y k x =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=．①直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++．③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，． 所以OA OB + 与P Q 共线等价于1212()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ．22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为A P 与O 相切于点P ，所以O P A P ⊥． 因为M 是O 的弦B C 的中点，所以O M B C ⊥． 于是180O PA O M A ∠+∠=°． 由圆心O 在P A C ∠的内部，可知四边形APO M 的对角APOMCB互补，所以A P O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以O A M O P M ∠=∠． 由（Ⅰ）得O P A P ⊥．由圆心O 在P A C ∠的内部，可知90O PM APM ∠+∠=°． 所以90O AM APM ∠+∠=°．2008新课标文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。