函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n =因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n =从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。

本题答案填写：0例2、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22c f f ==<0，∴c a b <<，选D.例3、（安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。

解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。

本题应直观理解()()12f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。

例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （）等于（ ）A.0.5B.－0.5D.－解析：由()()()()()()()5.05.15.35.55.72-=-==-=⇒-=+f f f f f x f x f ，又()f x 是奇函数，故()()5.05.05.0-=-=-f f ，故选择B 。

例5、（福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由)(x f 的周期性知，()()()()04115)2(=-=-=-==f f f f f即至少有根1，2，4，5。

故选择B 。

例6、（广东卷）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.例7、 若f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，它们有相同的定义域，且11)()(-=+x x g x f ，求f （x ），g （x ）的表达式。

解：∵11)()(-=+x x g x f ①，∴11)()(--=-+-x x g x f ①′， ∵f （x ）是偶函数)()(x f x f =-⇒，g （x ）是奇函数)()(x g x g -=-⇒，∴①′11)()(--=-⇒x x g x f ②， ①+②得：11)(2-=x x f ， ①-②得：1)(2-=x x x g 。

例8、已知函数R x x x x f ∈+=,)(3（1）指出f （x ）在定义域R 的奇偶性与单调性；（只须写出结论，无须证明）（2）若a ，b ，c ∈R ，且a+b>0，b+c>0，c+a>0，证明：f （a ）+f （b ）+f （c ）>0。

（12分）解：（1）f （x ）是定义域R 上的奇函数且为增函数。

（2）由a+b>0得a>-b ，由增函数f(a)>f(-b)，且奇函数f （-b ）=-f （b ），得f （a ）+f （b ）>0。

同理可得f （b ）+f （c ）>0，f （c ）+f （a ）>0。

相加得：f （a ）+f （b ）+f （c ）>0。

例9、．设函数f （x ）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的21x x ≠，有)()()()(1)(122121x f x f x f x f x x f -⋅+=-，试判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论。

（12分） 解：∵)()()()()(1)(12122121x x f x f x f x f x f x x f -⇒-+=- )()()()()(1)()()()(12112212121x x f x f x f x f x f x f x f x f x f --=-+-=-+=， 设21x x x -=，则12x x x -=-，∴f （-x ）=-f （x ）；又∵f （x ）的定义域关于原点对称，∴f （x ）为奇函数。

例10、．设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f yx f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)31()(≤--x f x f 。

（12分） 证明：（1）)()()(y f x f yx f -=，令x=y=1， 则有：f （1）=f （1）-f （1）=0，)()()]()1([)()1()()1()(y f x f y f f x f yf x f yx f xy f +=--=-==。

（2）解：∵)]3()1([)()31()(---=--x f f x f x f x f )3()3()(2x x f x f x f -=-+=，∵2=2×1=2f （2）=f （2）+f （2）=f （4），∴2)31()(≤--x f x f 等价于：)4()3(2f x x f ≤-①， 且x>0，x-3>0[由f （x ）定义域为（0，+∞）可得]。

∵03)3(2>-=-x x x x ，4>0，又f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∴①41432≤≤-⇒≤-⇔x x x 。

又x>3，∴原不等式解集为：{x|3<x ≤4}。

例11、．如图1-3-1由A 城运物到B 城，先走一段水路AD ，再走一段公路DB ，已知水路运费是公路运费的一半，AC=40公里，BC=30公里，问码头D 建在何处才能使运费最省？（12分）解：设AD=x 公里，则CD=40-x 公里，2230)40(+-=x BD 公里。

设每公里的水路费用m ，则每公里的路费为2m ，由A 城到B 城的货物的总运费为：2230)40(2+-+=x m mx M ①。

令mM y =显然要求M 最小值，只要求y 最小值即可。

把①整理得：0)10000()160(2322=-+--y x y x ①′，对方程①′330400)10000(12)16(4022+≥⇒≥---⇒≥∆y y y 或033040<-≤y （舍去）。

把33040+=y 代入①′解得23)34(10≈-=x （公里）。

答：将码头建在离A 城约23公里处，运费最省。

例12、．已知c x x f +=2)(，且)1()]([2+=x f x f f 。

（1）设g （x ）=f[f （x ）]，求g （x ）的解析式；（2）设)()()(x f x g x λϕ-=，试问是否存在实数λ，使)(x ϕ在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？解：（1）∵c x x f +=2)(，∴c x x f ++=+222)1()1(，∴c c x c x f x f f x g ++=+==222)()()]([)(。

又1)()1()1()]([22222=⇒++=++⇒+=c c c x c x x f x f f ，∴1)1()(22++=x x g 。

（2）λλλλϕ-+-+=+-++=-=2)2()(1)1()()()(24222x x c x x x f x g x ， 任取21x x >，则)2)(()2()2()()(222122212242214121λλλϕϕ-++-=----+=-x x x x x x x x x x ①。

)(x ϕ在)1,(--∞上递减012221222112<-⇒<⇒-<<⇒x x x x x x ，21x x >且)(x ϕ递减⇒①<0，又02221<-x x ， 则：022221>-++λx x 恒成立22221++<⇔x x λ， 442112*********≤⇒>++⇒<<⇒-<<λx x x x x x ①′。