函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( )
A ．f(x)＝x2＋x
B ．f(x)＝tan x
C ．f(x)＝x ＋sin x
D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f(x)g(x)是偶函数
B ．|f(x)|g(x)是奇函数
C ．f(x)|g(x)|是奇函数
D ．|f(x)g(x)|是奇函数
3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23
，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43
4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－98
D ．98
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A ．(1,3)
B ．(－1,1)
C ．(－1,0)∪(1,3)
D ．(－1,0)∪(0,1)
6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1
，则a 的取值范围是( )
A ．a<－1或a≥23
B ．a<－1
C ．－1<a≤23
D ．a≤23
二、填空题
7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.
8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．
9．(2015·嘉兴模拟)函数y ＝(x －2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a 的取值范围为________．
10．(文科)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x
－1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121－x ，则 ①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的
最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．
10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
三、解答题
11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝x (0<x≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋2x ，x>0，0，x ＝0，
x2＋mx ，x<0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．解析：函数f(x)＝x2＋x 不是奇函数；函数f(x)＝tan x 的定义域不是R ；函数f(x)＝lg 1－x 1＋x
的定义域是(－1,1)．故选C. 答案：C
2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D 也错．
答案：C
3．解析：根据题意，f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1＝1＋x x2＋1，而h(x)＝x x2＋1
是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43
，故选C. 答案：C
4．解析：∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R 上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－
1)＝－f(1)，而当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.
答案：A
5．解析：f(x)的图象如图．
当x ∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x ∈(－1,0)；
当x ∈(0,1)时，由xf(x)<0得x ∈∅；
当x ∈(1,3)时，由xf(x)>0得x ∈(1,3)．
故x ∈(－1,0)∪(1,3)．
答案：C
6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．
由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；
函数的最小正周期T ＝3，则f(－1)＝f(2)，
由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a≤23
. 答案：C
二、填空题
7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，
∴2ax ＝－ln e3x ＝－3x ，∴a ＝－32
. 答案：－32
8．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，
又f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.
答案：2
9．解析：y ＝(x －2)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－2x ，x>0，0，x ＝0，
－x2＋2x ，x<0.
函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x ＝－1，得x ＝1－ 2.
借助图形可知1－2≤a≤1.
答案：[1－2，1]
10．解析：由已知条件：f(x ＋2)＝f(x)，
则y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121＋x ， 函数y ＝f(x)的图象如图所示：
当3<x<4时，－1<x －4<0，
f(x)＝f(x －4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确． 答案：①②④
10．解析：∵f(x)为奇函数并且f(x －4)＝－f(x)．∴f(x －4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)，即y ＝f(x)的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y ＝f(x)的图象，
其图象也关于x ＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8. 答案：－8
三、解答题
11．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，
有f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．
又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)．
从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f(x)＝－f(－x)＝－－x.
故x ∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.
x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x ＋4)＝－－x －4.
从而，x ∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x －4.
12．解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x ＝x2＋mx ，
所以m ＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增．
结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，
所以1<a≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。