2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1 2．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 3．已知y x ,为正实数，则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222∙=+C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙=4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a6．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-（第5题图）7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙。

则A. 090=∠ABCB. 090=∠BACC. AC AB =D.BC AC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。

若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是A. 2B. 3C.23 D.2610．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=。

设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为060 二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________。

12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm 。

13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。

14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________。

16．ABC ∆中，090=∠C ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________。

17．设21,e e 为单位向量，非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21，若21,e e 的夹角为6π||b 的最大值等于________。

三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列。

（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分。

（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.22．已知R a ∈，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值。

ABCDPQM（第20题图）（第21题图）参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题11．-10 12．24 13．2 14．480 15．1± 16．3．2 三、解答题 18．解：（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n nd d d d d d d a n a n ==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或； （Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-，①当111n ≤≤时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ； 19．解：（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时3ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时5ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；当两次摸到的球分别是蓝蓝时6ξ=，此时111(6)6636P ξ⨯===⨯；所以ξ的分布列是：9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::b c acab c==∴=。

20．解：证明（Ⅰ）方法一：如图6，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =。

因为P 是BM 中点，所以//PF BD ；又因为（Ⅰ）3AQ QC =且3AF FD =，所以//QF BD ，所以面//PQF 面BDC ，且PQ ⊂面BDC ，所以//PQ 面BDC ；方法二：如图7所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以1//2PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH CH =，且3AQ Q C =，所以11////42QH AD MD ，所以////PO QH PQ OH ∴，且OH B C D ⊂，所以//PQ 面BDC ；（Ⅱ）如图8所示，由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥，过G 作GH BM ⊥于H ，连接CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===， 在RT BCG ∆中，2s i n 2s i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，所以在R T B H G ∆中，2133HG α=∴=，所以在RT CHG ∆中tan tan60CGCHGHG∠====tan(0,90)6060BDCααα∴=∈∴=∴∠=；21．解：（Ⅰ）由已知得到1b=，且242a a=∴=，所以椭圆的方程是2214xy+=；（Ⅱ）因为直线12l l⊥，且都过点(0,1)P-，所以设直线1:110l y kx kx y=-⇒--=，直线21:10l y x x ky kk=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y=-⇒--=的距离为d=，所以直线1l被圆224x y+=所截的弦AB==；由2222248014x ky kk x x kxxy++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，所以28||44D Pkx x DPk k+=-∴==++11||||22444313 ABDS AB DPk k k∆====++++23232==≤=+252k k=⇒=⇒=1:1l y x=-22．解：（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a''=-+∴=-，且(1)133331f a a=-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -≤，（1）当0a ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（2）当440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >，所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =； 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，因为21()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,3a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x1|()|()2(1)1fx fx a ==+-（ⅱ）当213a ≤<时，(2)0,(0)f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ①当2334a <<时，340a ->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-②当314a ≤<时，340a -<，所以1()|(2)|f x f <，所以此时max |()|(2)31f x f a ==-综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩。