2013年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）102、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种 3、下面是关于复数z=21i-+的四个命题 P1：z =2 P2: 2z =2i P3:z 的共轭复数为1+i P4 ：z 的虚部为-1 其中真命题为（A ）. P2 ,P3 （B ） P1 ,P2 （C ）P2,P4 （D ）P3,P44、设F1，F2是椭圆E:22x a +22y b =1 (a ＞b ＞0)的左、右焦点 ，P 为直线32ax =上的一点，12PF F △是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（A ）12 （B ）23 （C ） 34 （D ）455、已知{n a }为等比数列，214=+a a ，865-=⋅a a ，则=+101a a（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7 6、如果执行右边的程序图，输入正整数)2(≥N N 和实数n a a a ⋯,,21，输入A ，B ，则 （A ）A+B 为的n a a a ⋯,,21和 （B ）2A B+为n a a a ⋯,,21的算式平均数（C ）A 和B 分别是n a a a ⋯,,21中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是n a a a ⋯,,21中最小的数和最大的数7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）188、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B 两点，34=AB ，则C 的实轴长为（A 2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）89、已知w ＞0，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（A ）]45,21[ （B ）]43,21[ （C ）]21,0( （D ）(0,2]10、已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（A ）26 （B ）36 （C ）23 （D ）2212、设点P 在曲线x e y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则|PQ|的最小值为（A ）2ln 1- （B ）)2ln 1(2- （C ）2ln 1+ （D ）)2ln 1(2+第Ⅱ卷O O O O 11111111xyxy xy xy）（A ）（B ）（C ）（D本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知向量a ，b 夹角为45°，且1=a ，102=-b a ，则b =____________.14、设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x z 2-=的取值范围为__________.15、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。

设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000,250），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.16、数列{}n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则{}n a 的前60项和为________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a 。

（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c 。

18、（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，x 表示当天的利润（单位：元），求x 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

19、（本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1。

（1） 证明：BC DC ⊥1；（2） 求二面角1C BD A --1的大小。

20、（本小题满分12分）设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1） 若∠BFD=90°，A B D △的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10ABCD1A 1B 1C（2） 若F B A ,,三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 之有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

21、（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=- （1） 求)(x f 的解析式及单调区间； （2） 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

22、（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ＡＢＣ边ＡＢ，ＡＣ的中点，直线ＤＥ交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF ∥AB ，证明：（Ⅰ）CD=BC ；（Ⅱ）GB D B CD ∽△△。

23、（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程式⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式2=ρ。

正方形A B C D 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为)2,2(π。

（Ⅰ）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222PD PC PB PA +++的取值范围。

24、（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数2)(-++=x a x x f（Ⅰ）当3-=a 时，求不等式3≥x 的解集；（2）若()4-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围。

答案一、选择：二、填空：13、 14.、[-3,3]15、3816、1830三、解答：17、（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=2b c ==18、（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩（2）（i ）X 可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X PX ====== 222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=（ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得：应购进17枝19、（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =，则1C O =111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒20、（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =点A 到准线l 的距离d FA FB ===122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=圆F 的方程为22(1)8x y +-=（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2pF点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=得：3,)2pA，直线3:02p p p m y x x -=+⇔=222233x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点,)36p P直线:06p n y x x p -=⇔= 坐标原点到,m n距离的比值为:326=。

21、（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得：(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f ex x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得：21()()()12x xf x e x xg x f x e x '=-+⇒==-+()10()xg x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-第11页，共11页()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =max ()2e F x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e 22、（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒=//CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔=（2）//BC GF BG FC BD ⇒==//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆ 24、（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)--（2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈ 23、（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤。