第一章 三角函数一、基本概念 （1）任意角①正角：按逆时针方向旋转的角 ②负角：按顺时针方向旋转的角 ③零角：不做任何旋转形成的角 （2）任意角的大小 ①角度制设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，若030=α，则终边 在其上的角的集合为{}Z k k ∈⋅+=,3603000ββ终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z②弧度制弧度制是角度的另一种表示方法.概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：rad . 有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：π1801=rad ，则1801π=︒<2>设α是半径是r 的圆，弧长为l 所对应的圆心角. 则rl=α ③角度制和弧度制单位换算 π1801=rad ，则1801π=︒常见的角度制和弧度制的转化：（4）象限角（任意角的归类）设角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限， 则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z二、三角函数 （1）求三角函数值设α是任意角，它的终边与圆心在原点的圆交于点()y x P ,，那么 22sin y x y +=α、22cos y x x +=α、xy=αtan ① 特例：若原始单位圆，则y =αsin 、x =αcos 、xy =αtan ② 终点在y 轴的角的正切值不存在 ③ 1cos sin22=+αα、αααcos sin tan =（★★★★★） ④ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即()απαs i n 2s i n=⋅+k 、()απαcos 2cos =⋅+k 、()απαtan tan =⋅+k 其中z k ∈⑤ 三角函数在各象限的符号：（2）三角函数图像与性质 1） 正弦函数图像 <1>图像来源 ①描点法（略）②平移、拉伸A 、sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象B 、sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象<2>图像性质函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： A 、.振幅：A ；B 、周期：2πωT =；C 、.频率：12f ωπ==T ；D 、相位：x ωϕ+； E 、初相：ϕF 、函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ϕ，1x 、2x 为相邻的取得函数最大值与 函数最小值的自变量的取值，则()max min 12y y A =-，()21122x x x x T=-< <3>诱导公式A 、()()Z k x k x ∈=+sin 2sin π：函数x sin 图像周期性B 、()x x sin sin -=+π：函数x sin 图像在任意相距π的两个自变量所对应的 函数值互为相反数C 、()ααsin sin -=-：函数x sin 图像关于原点对称，或者函数x sin 图像在 互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数D 、()ααπsin sin =-：函数x sin 图像关于2π=x 对称2）余弦函数<1>余弦函数图像来源（略） ①描点法（五点法） ②平移旋转 <2>图像性质函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ϕ的性质： A 、.振幅：A ；B 、周期：2πωT =；C 、.频率：12f ωπ==T ；D 、相位：x ωϕ+； E 、初相：ϕF 、函数()()0,0cos >>+=w A wx A y ϕ，1x 、2x 为相邻的取得函数最大值与 函数最小值的自变量的取值，则()max min 12y y A =-，()21122x x x x T=-<<3>诱导公式A 、()()Z k x k x ∈=+cos 2cos π：函数x cos 图像周期性B 、()x x cos cos -=+π：函数x cos 图像在任意相距π的 两个自变量所对应 的函数值相反C 、()ααcos cos =-：函数x cos 图像关于y 轴对称，或函数x cos 图像在互为 相反数的两个自变量所对应的函数值相等D 、()ααπcos cos -=-：函数x cos 图像关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称 3）正切函数 <1>诱导公式A 、()()Z k x k x ∈=+tan tan π：函数x tan 图像周期性B 、()ααtan tan -=-：函数x tan 图像关于原点对称，或函数x tan 图像在互 为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数C 、()ααπtan tan -=-：函数x tan 图像关于⎪⎭⎫⎝⎛0,2π对称 4）正弦函数与余弦函数关系： <1>诱导公式A 、函数x cos 是由x sin 向左平移而来的，即x x cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+π B 、x x cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-π函数x cos 与x sin 的图像关于4π=x 对称5） 三角函数表格：,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭（3）三角函数的诱导公式()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．小结：① 图像中w 的作用是压缩或者伸长，影响的是周期、单调区间；ϕ的作用是平移，影响的是奇偶性；A 的作用是纵向拉伸，影响的是最值、值域。

② 一般地，函数()()0.0sin >>+=w A wx A y ϕ的图像，可以看成是由下面的方法得到的：先画出x y sin =的图像；再把正弦曲线向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()ϕ+=x y sin 的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的w1倍，得到函数()ϕ+=wx y sin 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，这时的曲线就是函数()ϕ+=wx A y sin 的图像。

③ ()ϕ+=wx A y sin x y sin =由平移拉伸而来，但是用此方法画()ϕ+=wx A y sin 图 像较繁琐. 方法是“五点（画图法）”！原因就是说任何()ϕ+=wx A y sin 的图像都可以由x y sin =平移，压缩，拉伸而来的，所以说x y sin =的一个周期中的五个点对应到()ϕ+=wx A y sin 的五个点也是一个周期，0>w 注定单调性也是一致的④A 是振幅，ϕ+wx 是相位，ϕ是初相，周期w T π2=，频率π21wT f ==第二章 平面向量一、基本概念向量：既有大小，又有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量． 零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 二、向量的运算（1）向量的加法①三角形法则的特点：首尾相连 ②平行四边形法则的特点：共起点 ③三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+当a ，b 不共线时，b a b a b a +<+<- 当a ，b 同向时，b a b a +=+ 当a ，b 反向时，ba b a -=-④运算性质： A 、交换律：a b b a +=+B 、结合律：()()a b c a b c ++=++ C 、00a a a +=+=⑤坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++ （2） 向量的减法：①三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ②转化成加法()b a b a -+=- 注：-=③坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =， 则()1212,a b x x y y -=--（3） 向量的数乘：①()()a a λμμλ=、()a a a μλμλ+=+、()b a b a λλλ+=+、()()()a a a -=-=-λλλ、()b a b a λλλ-=- a a λλ=②当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相 反；当0=λ时，=a λ ⑧向量共线定理：向量()0≠a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.设()11,a x y =，baCBAa b C C -=A -AB =B()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠ 共线⑨坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==（4） 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ， 有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一 平面内所有向量的一组基底） （5） 分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭时，1=λ就为中点公式） （6） 平面向量的数量积：①()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤ 零向量与任一向量的数量积为0．②性质：设a 和b 都是非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=设a 与b 同向时，a b a b ⋅=、22a a a a ⋅==或a a a =⋅ 设a 与b 反向时，a b a b⋅=-a b a b ⋅≤当且仅当a 、b 是共线向量时满足等号成立③运算律：a b b a ⋅=⋅、()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅、()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅()()夹角是,2222θθ+=++=+()()夹角是,2222θθ-=+-=-④坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+ 设(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角， 则121cos a b a bx θ⋅==+．第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶()sinsin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸()tan tan tan1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=- ⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-、 （7）()()βαβαβαcos sin 2sin sin =-++2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+⇒ （8）()()βαβαβαsin cos 2sin sin =--+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-⇒二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ 2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos2cos 122αααα=-=+αααcos 1cos 12tan 2+-=⇒⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=ααα2cos 12cos 1tan 2+-=⇒ 22tan tan 21tan ααα=-．三、四、合一变形（★★★★）2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a bx b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 ()x x b a cos sin cos sin 22ϕϕ++= ()ϕ++=x b a sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ϕtan （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a bx b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 ()x x b a cos cos sin sin 22ϕϕ++= ()ϕ-+=x b a cos 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ϕtan例1、（课本例题，19P ）已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值 目的：已知某角的正切、正弦、余弦三者之一，快速求其余两个解析一：因为053sin <-=α，且1sin -≠α，所以α是第三或第四象限 由于1cos sin 22=+αα得：2516sin 1cos 22=-=αα若α是第三象限角，则54cos -=α，435453cos sin tan =--==ααα若α是第四象限角，则54cos =α，435453cos sin tan -=-==ααα解析二：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+αααααcos sin tan 1cos sin 22即是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+αααcos 53tan 153cos 22 则可得：54cos -=α、43tan =α或54cos =α、43tan -=α 思路：此题若是一道选择题，用方法一、方法二太繁琐! 方法：①我们先判断α是第三或第四象限②若α是第三象限角，则0cos <α、0tan >α. 我们心里可以假设一个直角三角形，假设一个角是α，因为53sin -=α. 所以α的对边是3， 斜边是5. 有勾股定理可得邻边是4，故54cos =α、43tan =α，然后判断符号即可得到54cos -=α、43tan =α或54cos =α、43tan -=α例2、（课本练习20P 、证明22P ）目的：快速应用1cos sin22=+αα、αααcos sin tan =进行恒等变形 （1）()αααααααα222222244cos sin 21cos sin2cos sin cos sin -=-+=+()()αααααααα22222244cos sin cos sin cos sin cos sin -=-+=- （2）()2sin cos cos sin 21x x x x -=-（3）x x x x x x sin cos sin cos tan 1tan 1+-=+-、1tan 1tan cos sin cos sin -+=-+x x x x x x 、 ()()()()()()xx x x x x x x x x 2222cos sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1+=-+=+-++=-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x x x x x x 2222222222cos cos 1sin 1cos 1sin sin cos sin sin tan x x x x x 22222tan sin cos sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 例3、（课本例题26P 、27P ）（1）证明：x x cos 23sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-π （2）化简()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x x x x x x 29sin sin 3sin cos 211cos 2cos cos 2sin ππππππππ目的：灵活应用三角函数的诱导公式（1）解析① 第一步，利用x y sin =图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数 值互为相反数，即是⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-x x 2sin 23sin ππ 第二步，利用x y sin = x y cos =关于4π=x 对称得x x cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛-π，故x x cos 23sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-π ② 第一步，利用x y sin =图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数 值互为相反数，即是⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-x x 2sin 23sin ππ 第二步，利用x y sin = 图像是由x y cos =图像平移而来的，故()x x -=⎪⎭⎫⎝⎛-cos 2sin π 第三步 x y cos =的图像关于y 轴对称故()x x cos cos =-故x x cos 23sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-π （2）解析：()()x x x sin sin 2sin -=-=-π ()x x cos cos -=+π()x x x sin sin 2cos -=+=⎪⎭⎫⎝⎛+ππ x x x x sin 2cos 23cos 211cos -=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-πππ ()()x x x cos cos cos -=--=-π()()()()x x x x x sin sin sin sin 3sin =--=--=-=-ππ ()()()x x x x sin sin sin sin =--=--=--π x x x cos 2sin 29sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+ππ 思考：奇变偶不变，符号看象限！小结：（1）对于此类型题，我们的方法一般式：周期性、半周期、函数平移或奇 偶性（2）思考：奇变偶不变，符号看象限（理解记忆！）例4、（课本探究31P ）你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图像变形 得到余弦函数的图像吗？目的：用正余弦函数图像来解释诱导公式x x cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+π的含义，一变我 们能灵活应用公式！ 解析：x x cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+π告诉我们：正弦函数x y sin =的自变量取值比余弦 函数x y cos =自变量取值大2π时，函数值相等，即是：正弦函数是由 余弦函数向右平移而来的 小结：思考其他诱导公式的含义！例5、（课本思考33P ）你能否从函数图像变换的角度，利用函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 来得到[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的图像？同样的，能否从函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像得到函数[]π2,0,cos ∈-=x x y 的图像？ 目的：函数的平移、对称、旋转解析：[]π2,0,sin 1∈+=x x y 图像是由[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像向上平移1个单位 长度而来的，理由：相等的自变量取值，[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的函数值总比 []π2,0,sin ∈=x x y 的函数值大1函数[]π2,0,cos ∈-=x x y 的图像是由函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像关于 x 轴对称而来的，理由：相等的自变量取值，[]π2,0,cos ∈-=x x y 的函数值与 []π2,0,cos ∈=x x y 的函数值互为相反数思考：如何求函数平移、对称、旋转（特例关于原点对称），比如说：已知函数是奇函 数，且已知0>x 时的函数表达式，求0<x 时的函数表达式？ 例6、（课本思考35P ）求下列函数的周期：R x x y ∈=,cos 3、R x x y ∈=,2sin 、 R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,621sin 2π，并从中你归纳这些函数的周期与解析式中的哪些量有关目的：利用周期函数的概念（或函数平移旋转对称）求三角函数的周期 解析一：R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,621sin 2π，设周期是πk ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+621sin 2ππk x⎪⎭⎫⎝⎛-=621sin 2πx ，整理得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-621sin 22621sin 2πππx k x ，则可知4=k ，即：原函数的周期是π4 解析二：R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,621sin 2π图像是由函数R x x y ∈=,sin 先向右平移6π得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,6sin π的图像，然后由R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,6sin π的图像水 平拉伸2倍得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,621sin π的图像，最后将函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,621sin π的图像竖直拉伸2倍得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 2πx y ，R x ∈图像已知R x x y ∈=,sin 的周期是π2，因为R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,6sin π是由函数 R x x y ∈=,sin 平移而来的，所以说周期仍是π2；R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,621sin π的图像是由R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,6sin π水平拉伸2倍而来，故周期增大为 ππ4212==T ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 2πx y R x ∈是由R x x y ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,6sin π图 像纵向拉伸，胡周期不变，综合上述可知：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin 2πx y R x ∈的周期是ππ4212==T 即：()ϕ+=wx A y sin 周期为wT π2=，既可以推广到 如果函数()x f y =的周期是T ，那么函数()wx f y =的周期是wT例7、（课本例题39P ）求函数[]πππ2,2,321sin -∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 的单调递增区间目的:由已知函数的单调性求复合函数的单调性、三角函数的“五点作图法” 解析一：令321π+=x z ，函数z y sin =的单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22由ππππk z k 2222+≤≤+-，解得：ππππk x k 43435+≤≤+- 当且仅当0=k 时[]ππππ2,2335-∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-x x ，满足定义域取 值范围，故函数[]πππ2,2,321sin -∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 的单调递增区间是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-335ππx x 解析二：利用“五点作图法”（描点法）画图，由函数图像进行单调性判断：故函数[]πππ2,2,321sin -∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 的单调递增区间是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-335ππx x 例8、（课本例题39P ）利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小： （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-10sin 18sin ππ与 （2）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-417cos 523cos ππ与 目的：用函数单调性比大小解析：利用三角函数的单调性比较同名三角函数的大小，可以先利用诱导公式将已知 角化为同一单调区间内的角，然后比较大小 例9、（课本例题44P ）求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32tan ππx y 的定义域、周期和单调区间目的：求正切函数的定义域、周期、单调区间 解析：正切函数与正、余弦函数的区别：（1）正切函数定义域不是全体实数，而正、余弦函数的定义域是全体实数 （2）正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间！而正、余弦函数既有单 调递增区间，又有单调递减区间 （3）正切函数的周期为wT π=，正、余弦函数的周期为wT π2=理由：函数x y tan =周期是π，函数x y sin =、x y cos =周期均是π2 小结：（1）三角函数周期两种求法：三角函数概念；公式法（2）三角函数单调性的两种求法：复合函数求单调性；五点作图法（描点法） 例10、（课本习题A10，46P ）已知函数()x f 是以2为最小正周期的周期函数，且[]2,0∈x 时，()()21-=x x f ，求()3f 、⎪⎭⎫⎝⎛27f 的值目的：利用周期函数的性质，由已知区间的函数表达式求未知区间的函数表达式 解析：略方法：仿照下面此题方法一致，多思考！（课本必修一习题1.3，39P ）已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()x x x f +=1，画出函数()x f 的图像，求出函数解析式解析一：因为函数()x f 是定义在R 上的奇函数，所以函数在0<x 的图像上的坐标点关于原点对称后的坐标点满足()()x x x f +=1我们可以设0<x 图像上的 坐标点为()()x f x ,，则关于原点对称后的点的坐标为()()x f x --,，因为 ()()x f x --,满足()()x x x f +=1，可得：()()[]x x x x x f -=-+-=-21，即：()2x x x f -=此方法利用函数图象上点的特征来寻找到关于x 与()x f 的一个等式，通过化简即可得到()x f 解析二：找规律例11、（课本习题B3，47P ）已知函数()x f 的图像如图所示，试回答下列问题（1）求函数的周期（2）画出函数()1+=x f y 的图像（3）你能写出函数()x f y =的解析式 目的：函数的平移 解析：（1）周期：2（2）()1+=x f y 函数图像是由()x f y =向左平移一个单位长度而来的 （3）11<≤-x 时，()x x f = 31<≤x 时，()2-=x x f 53<≤x ，()4-=x x f1212+<≤-n x n 时，()z n n x x f ∈-=,2 例12、（课本练习56P ，3）函数⎪⎭⎫⎝⎛-=421sin 32πx y 的振幅、周期和频率各是多少？它的图 像与正弦曲线有什么关系？目的：知道三角函数振幅、周期、频率、单调性、定义域怎么求得，并能利用平移 拉伸（压缩）来画函数的图像 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 32πx y 是由x y sin =先向右平移4π，然后横坐标变为原来的 2倍，纵坐标缩短为原来的32倍 或⎪⎭⎫⎝⎛-=421sin 32πx y 是由x y sin =先横坐标变为原来的2倍，然后向右 平移2π，最后纵坐标缩短为原来的32倍 小结：⎪⎭⎫⎝⎛-=421sin 32πx y 图像形成的两种方法，先平移后压缩；或者先压缩后平 移，两种方法，但是一种思路例1、（课本探究82P ）数的加法满足交换律和结合律，即对于任意R b a ∈,,有+=+ ()()c b a c b a ++=++，任意a 、b 的加法是否也满足交换律和结合律？请 画图进行探索目的：向量加法交换律和结合律的理解！ 解析：由向量加法的三角形法则可知：+=+=、()++=++= 即是：+=+、()()++=++ 例2、（课本探究85P ）向量是否有减法？如何理解向量减法？我们知道，减去一个数等于加 上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？ 目的：向量减法和加法的灵活转化 解析：()-=-+=例3、（课本探究87P ）已知非零向量，作出++和()()()a a a -+-+-，你能说明它 们的几何含义吗？（课本思考88P ）你能解释上述运算律的几何意义吗？ 目的：理解向量数乘的几何含义解析：①()()a a λμμλ=、()a a a μλμλ+=+、 ()()()a a a -=-=-λλλaa λλ=，上述四个纯粹是很好理解，解析略()b a b a λλλ+=+、()b a b a λλλ-=-理解：此两个先画图，利用相似即可理解②当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方 向相反；当0=λ时，=a λ理解：λ的正负代表方向，大小代表向量长度伸长或压缩例4、（课本例题89P ）如图所示，已知任意两个非零向量b a ,，试做+=、2+=、3+=，你能判断A 、B 、C 三点的位置关系吗？为什么？ 目的：利用向量判断三点是否在一条直线上解析：假设A 、B 、C 三点在一条直线上，必定满足λ=()()b b a b a OA OB AB =+-+=-=2 ()()b b a b a OB OC BC =+-+=-=23存在=，此时1=λ例5、（课本例题89P ）如图所示，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且=、 =，你能用,表示,,,吗？目的：利用平面内两个非零向量表示平面内其它向量（向量间的关系），特例：若这两 个向量长度均为1，夹角为︒90，即是平面直角坐标系 解析：利用向量的加减法 ()()b a AD AB AC CA MA +-=+-=-==21212121 ()+=-=21MD MB ,自行求解例6、（课本思考96P ）已知()11,y x =、()22,y x =你能得出+、-、λ的坐标吗目的：理解向量的坐标表示解析：设j i ,是与x 轴、y 轴相同的两个单位向量，故()j y i x y x 1111,+==、 ()j y i x y x 2222,+==，故()()()21212121,y y x x j y y i x x ++=+++=+ ()()()21212121,y y x x j y y i x x b a --=-+-=- ()j y i x j y i x a 1111λλλλ+=+=、例7、（课本思考98P ）已知()11,y x a =、()22,y x b =，其中≠，我们知道，b a ,向量共线，则存在实数λ，使λ=.那么如何用坐标表示两个共线向量？ 目的：用坐标表示两个共线向量解析一：()j y i x y x 1111,+==、()j y i x y x 2222,+==，由λ=可得：()j y i x j y i x j y i x 222211λλλ+=+=+，即是⎩⎨⎧==2121y y x x λλ消去λ后得：01221=-y x y x也就是说，当且仅当01221=-y x y x 时，向量,（0≠b ）共线 解析二：若,向量共线，则有△AA 1A 2相似于△B 1BB 2 故可得：2121y y x x =，即是 01221=-y x y x例8、（课本例题99P ）设点P 是线段21P P上的一点，21,P P 的坐标分别是()()2211,,,y x y x （1）当点P 是线段21P P上的中点，求P 的坐标 （2）当点P 是线段21P P上的三等分点时，求P 的坐标 目的：理解分点坐标公式解析一：（1）由向量的线线运算可知()⎪⎭⎫⎝⎛++=+=2,221212121y y x x OP 故，点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x （2）点P 存在两种情况：2121PP =或212= 若2121PP =，则2111131P P OP P P OP OP +=+= ⎪⎭⎫⎝⎛++=32,322121y y x x 同理可得：若212PP PP =,则⎪⎭⎫⎝⎛++=32,322121y y x x 解析二：（1）设点P 的坐标为()00,y x ，则由21PP P P =可得： ()()02021010,,x x y y x x y y --=-- 则可得：2210x x x +=、2210y y y +=（2）根据（1）中的方法可求得解析三：（1）直接利用中点坐标公式即可得：点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x （2）点P 存在两种情况：2121PP =或212= 若2121PP PP =，P 点的横坐标为32321121x x x x x +=-+，纵坐标 为3221y y +同理可得：若212=,则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++32,322121y y x x 小结：（1）对于此题，解析一中OP 向量的坐标表示即为P 的坐标，故只要求出向 量OP 即可；解析二利用解方程的思维，寻找关于P 的横纵坐标的方程，解 出未知数即可；解析三利用初中所学的平面图形的相似原理（2）对于一般学生来说，或许最容易想到的是解析二，解析二中应用的是 平行向量的关系；对于思路活跃的学生而言，一般想到的是解析三；很少有 人能想到解析一，但是解析一给我们提供了思路：OP 向量的坐标表示即为P的坐标，故只要求出向量OP 即可 （3）分点坐标公式：（课本探究100P ）设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭时，1=λ就为中点 坐标公式例9、（课本探究106P ）已知非零向量()11,y x a =、()22,y x b =，怎么用b a ,向量的坐标表 示⋅目的：理解向量坐标的含义，并能进行()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅的运算 解析：略小结：（1）向量坐标含义：()j y i x y x 1111,+== （2）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ （3）110cos 222===⋅⋅=i i i i思考：设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角， 则121cos a b a bx θ⋅==+应用这个公式我们可以求平面内直线间的夹角. 在以后的学习中，我们会接触空间向量例10、（解三角形）已知一个三角形ABC ，试着寻找AB 、AC 、BC 、cosA 之间的关系目的：平面向量应用：研究三角形边角之间的关系解析：()22222A -+⋅-=-=若令AB=c 、AC=b 、BC=a ，则a2=b 2+c 2-2bccosA小结：此内容是必修五第一章的内容，在此处是完全可以理解的例11、（课本探究124P ）如何用角βα,的正弦、余弦值来表示()βα-cos 目的：平面向量应用：证明两角差的余弦公式解析：在平面直角坐标系xoy 内做单位圆O ，以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆O 的交点分别是A,B ，则()ααs i n ,co s =、()ββsin ,cos =βαβαcos sin sin cos +=⋅、且θθcos cos ==⋅，故： 因为θβπα++=k 2或θβπα-+=k 2，于是θπβα±=-k 2，所以 ()βαβαθπsin sin cos cos 2cos +=±k ，整理得： ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-延伸：（1）()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-，则()()[]=--=+βαβαcos cos ()()βαβαβαβαsin sin cos cos sin sin cos cos -=-+-（2）()βαπβαπβαπβαsin 2sin cos 2cos 2cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ βαβαsin cos cos sin +=（3）()()()βαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin -=-+-=-()αβπαβπαβπβαsin 2sin cos 2cos 2cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=- αββαcos sin cos sin -= （4）()()()βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan cos sin tan -+=++=+ （5）()()()βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan cos sin tan +-=--=-（6）sin22sin cos ααα=2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-例12、（课本例题140P ）求函数x x y cos 3sin +=函数的周期、最大值和最小值 目的：学会灵活运用合一公式解析：通过三角变换，我们把形如x b x a y cos sin +=的函数转化为形如 ()ϕ+=wx A y sin 的函数使得问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想!⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+=3sin 2cos 3sin sin 3cos 2cos 23sin 212cos 3sin πππx x x x x x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+=3cos 2cos 6cos sin 6sin 2cos 23sin 212cos 3sin πππx x x x x x x y 故周期是π2，最大值是2，最小值时2-（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a bx b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222()x x b a cos sin cos sin 22ϕϕ++= ()ϕ++=x b a sin 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ϕtan （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a bx b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 ()x x b a cos cos sin sin 22ϕϕ++= ()ϕ-+=x b a cos 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ϕtan。