单元检测：解析几何—抛物线一、选择题1．若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．82．已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A ． B ．C ．D ． 3．如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF --B ．2211BF AF --C ．11BF AF ++D ．2211BF AF ++ 4．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．85．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．436．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为1C 22221(0,0)x y a b a b-=>>22:2(0)C x py p =>1C 2C 23x y =23x y =28x y =216x y =AB ．23CD ．1 7．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10二、填空题8．若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ．9．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = 10．设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________．11．抛物线24y x =上的弦AB 垂直于x 轴并过焦点，M 为抛物线上一点，且满足OM OA λ=+(2)OB λ-，则λ=______．12．（2014湖南）如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 ． 13．已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．22y px =(1,0)p =ABCD DEFG 和正方形,()a b a b <O AD 22(0)y px p =>,bC F a=两点，则三、解答题14．已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．(1)若||||4AF BF +=，求l 的方程； (2)若3AP PB =，求||AB ．15．已知抛物线C ：22=-x py 经过点(2,1)-．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1=-y 分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．16．已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。

（1）求C 的方程；（2）若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

32单元检测：解析几何—抛物线（参考答案）一、选择题1．D 【解析】由题意，知抛物线的焦点坐标为(,0)2p，椭圆的焦点坐标为(，所以2p=，解得8p =，故选D ． 2．D 【解析】因为双曲线：的离心率为2,所以又渐近线方程为所以双曲线的渐近线而抛物的焦点坐标为.故选D ． 3．A 【解析】，故选A ． 4．B 【解析】由题意，不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，由||AB =，||DE =，可取4(A p ，(2pD -，设O 为坐标原点，由||||OA OD =，得2216854p p +=+，得4p =，所以选B ．5．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上，∴22p-=-．∴4p =， ∴28y x =，设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与28y x =联立， 得2824160y ky k -++=②，则△=2(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或12k =-（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ， 又(2,0)F ，∴43BF k =，故选D ． 6．C 【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则1C 22221(0,0)x y a b a b-=>>2.cb a=⇒=0,bx ay ±=1C 0.y ±=22:2(0)C x py p =>(0,),2p ||28p p =⇒=11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF22,22p FP pt pt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵13FM FP =，∴22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴22112122OM t k t t t ==≤=++∴max ()2OM k =，故选C ． 7．A 【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为1k ，2l 的斜率为2k ，由题意有121k k ⋅=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)D x y ，44(,)E x y 此时直线1l 方程为1(1)y k x =-，取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理得 22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++=≥ 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号． 二、填空题8．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12px =-=-． 9．22ypx 的准线方程为2p x =-，又0p ，所以2px =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(，所以2p-=，p =10．4【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B 11．3【解析】依题意，抛物线的焦点(1,0)，故1A B x x ==，所以(1,2)A ，(1,2)B -(假设A 在B 的上方)，所以(1,2)OA =，(1,2)OB =-．所以(1,2)(2)(1,2)(22,4)OM λλλ=+--=-，即(22,4)M λ-， 又M 在抛物线上，所以244(22)λ=-，故3λ=．12．1由正方形的定义可知BC CD =，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以||AD p a ==，(,0)2p D ，(,)2pF b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22p b p b a ab =+=+，变形得22()10b ba a --=，解得1b a =1b a =，所以1b a=13．2【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22(1)4k x x -=，即2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+， 即2440y y k --=，则124y y k+=，124y y =-， 由90AMB ∠=，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，将212224k x x k ++=，121x x =与124y y k+=，124y y =-代入，得2k =．解法二 设抛物线的焦点为F ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，所以2212124()y y x x -=-，则1212124y y k x x y y -==-+，取AB 的中点00(,)M x y '，分别过点A ，B 做准线1x =-的垂线，垂足分别为A '，B '，又90MB ∠=，点M 在准线1x =-上， 所以111||||(||||)(||||)222MM AB AF BF AA BB '''==+=+． 又M '为AB 的中点，所以MM '平行于x 轴，且01y =，所以122y y +=， 所以2k =． 三、解答题14．【解析】设直线11223:,(,),(,)2=+l y x t A x y B x y ． (1)由题设得3(,0)4F ，故123||||2+=++AF BF x x ，由题设可得1252+=x x ．由2323⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x t y x ，可得22912(1)40+-+=x t x t ，则1212(1)9-+=-t x x ． 从而12(1)592--=t ，得78=-t ． 所以l 的方程为3728=-y x ．(2)由3=AP PB 可得123=-y y ．由2323⎧=+⎪⎨⎪=⎩y x t y x，可得2220-+=y y t ． 所以122+=y y ．从而2232-+=y y ，故211,3=-=y y ． 代入C 的方程得1213,3==x x ．故||3=AB ． 15．【解析】(1)由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =．所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =． (2)抛物线C 的焦点为(0,1)F -． 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠．由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=． 设1122(,),(,)M x y N x y ，则124x x =-． 直线OM 的方程为11y y x x =． 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-． 同理得点B 的横坐标22B x x y =-． 设点(0, )D n ，则11(,1)x DA n y =---，22(,1)xDB n y =---， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)()()44x x n x x =++--21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++．令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-． 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-． 16．【解析】（1）由题意知(,0)2p F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+ 因为FA FD =，由抛物线的定义可知322p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去） 由234p t+=，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）①由（1）知(1,0)F ，设0000(,)(0)A x y x y ≠．(,0)(0)D D D x x > 因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +，故直线AB 的斜率02AB y k =- 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线的方程得200880b y y y y +-=，由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =- 设(,)E E E x y ，则20044,E E y x y y =-= 当204y ≠时，0020044E AE E y y yk x x y -==--，可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--，由2004y x =， 整理得0204(1)4y y x y =--，直线AE 恒过点(1,0)F 当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ， 所以直线AE 过定点(1,0)F ． ② 由①知直线AE 过定点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++。