第8课时正态分布
基础达标(水平一)
1.下列函数是正态分布密度函数的是().
A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是实数
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
【解析】通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态分布密度函数解析式的特点.
【答案】B
2.如果随机变量X~N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,那么P(0<X<1)等于().
A.0.210
B.0.003
C.0.681
D.0.0215
【解析】由题意得X~N(3,12),0<X<1,故P(0<X<1)==0.0215.
【答案】D
3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为().
A.2386
B.2718
C.3413
D.4772
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544)
【解析】由题意可得P(0<x≤1)=P(-1<x≤1)=0.3413.设落入阴影部分的点的个数为n,则
P===,解得n=3413,故选C.
【答案】C
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.012,则P(-1≤ξ≤1)=().
A.0.976
B.0.024
C.0.488
D.0.048
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),所以其正态曲线关于直线x=1对称.又因为P(ξ>3)=0.012,所以P(ξ<-1)=P(ξ>3)=0.012,所以P(-1≤ξ≤1)=0.5-P(ξ<-1)=0.5-0.012=0.488.
【答案】C
5.若X~N(μ,σ2),且f(x)=A为X的正态分布密度函数,则A= .
【解析】将给定的函数变形为f(x)=A,对比正态分布密度函数的标准形式f(x)=(x∈R),可知μ=3,σ=1,故A=.
【答案】
6.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合评分X服从正态分布N(60,102),考生共10000人.若一考生的综合评分为80分,则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第名.
【解析】依题意,P(60-20<x≤60+20)=0.9544,
P(X>80)=×(1-0.9544)=0.0228,
所以成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228=228.
所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.
【答案】229
7.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X2-3X+2<0)=0.432.求:
(1)P(X>0);
(2)P(X2≥X).
【解析】P(X2-3X+2<0)=P(1<X<2)=0.432.
(1)P(X>0)=P(0<X<1)+P(X≥1)=0.432+0.5=0.932.
(2)P(X2≥X)=P(X≥1)+P(X≤0)=0.5+1-P(X>0)=0.568.
拓展提升(水平二)
8.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是().
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
D.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
【解析】由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P(Y≥μ2)=,P(Y≥μ1)>,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错误;
因为σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错误;
对任意正数t,P(X≥t)≤P(Y≥t),故C错误;
对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),故选D.
【答案】D
9.一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1000,52).若从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1011 Ω、982 Ω,则可以认为().
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂
【解析】∵X~N(1000,52),∴μ=1000,σ=5,
∴μ-3σ=1000-3×5=985,
μ+3σ=1000+3×5=1015.
又1011∈(985,1015),982∉(985,1015).
∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
【答案】C
10.某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位:小时)为随机变量Y,已知Y~N(1000,302),若要使灯管的平均寿命在1000小时的概率为99.74%,则灯管的最低寿命应控制在小时.
【解析】因为P(μ-3σ<Y<μ+3σ)=99.74%,且Y~N(1000,302),所以Y在(μ-3σ,μ+3σ)即(910,1090)内取值的概率为99.74%,故最低寿命应控制在910小时.
【答案】910
11.已知电灯泡的使用寿命X(单位:小时)服从正态分布N(1500,1002).
(1)购买一个灯泡,求它的使用寿命不小于1400小时的概率.
(2)若在这种灯泡中,使用寿命最长的占0.15%,则这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时?
【解析】(1)P(X≥1400)=1-P(X<1400)
=1-==0.8413.
(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x0小时,则x0>1500,P(X≥x0)=0.15%,
因为P(X-1500≥x0-1500)
==0.15%,
所以P(|X-1500|<x0-1500)=1-0.3%=0.997,
所以x0-1500=300,x0=1800.
所以这部分灯泡的使用寿命至少为1800小时.。