高中数学-随机变量及其概率分布练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(·武汉模拟)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________．解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.答案12352．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于________． 解析 由分布列的性质得：⎩⎨⎧0≤1－2q ＜1，0≤q 2＜1，0.5＋1－2q ＋q 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜q ≤12，q ＝1±22.∴q ＝1－22. 答案 1－223．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于________．解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，得P (X ＝0)＝13.答案134．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P (x ＝4)的概率为____________(不必化简)．解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，k ＝4.答案 C 47C 68C 10155．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为________． 解析 因为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，所以a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝a⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45a . ∴4a 5＝1，则a ＝54. 则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 2＋a 6＝23a ＝56. 答案 566．(·西安质检)已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析 设X 取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，137．设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________. 解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3，…，n . 所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案 108．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为________． 解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.∴随机变量X 的分布列为答案二、解答题9．(·长沙调研)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．解 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为10.(·重庆卷)奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与数学期望E(X)．解设A i(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，B j(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则A i与B j独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝C13C24C37＝1835.(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝C33C37·13＝1105；P(X＝50)＝P(A3B)＝P(A3)P(B0)＝C33C37·23＝2105，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝C23C14C37·13＝435，P(X＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知，获奖金额X的分布列为从而有E(X)＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·兰州模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．解P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－C14C22C36＝45.答案4 52．设随机变量X的概率分布列如下表所示：F(x)＝P(X≤x)，则当x F(x)等于________．解∵a＋13＋16＝1，∴a＝12.∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝12＋13＝56.答案5 63．(·青岛调研)为质检某产品的质量，现抽取5件，测量产品中微量元素x，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________．解析5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23C25＝0.3，P(X＝1)＝C13·C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C22C25＝0.1.∴优等品数X的分布列为答案二、解答题4．(·广州质检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的分布列与数学期望．解(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x ＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此X可能取0,1,2三个值．P(X＝0)＝C29C212＝611，P(X＝1)＝C19·C13C212＝922，P(X＝2)＝C23C212＝122.X的分布列为X 01 2P611922122故E(X)＝0×611＋1×922＋2×22＝2.。