)
0 T
u1 u2
(k) (k)
y(k) 2
1
x1 x2
(k) (k)
当T 0.1s 时我们可以得到
x1 x2
(k (k
1) 1)
1
e0.1 e0.1
0 1
x1 x2
(k) (k)
K (1 K (e0.1
e 0.1 ) 0.9)
0 0.1
0 0
P1
0
得到 P1 0 1T ；
根
据
2 I
A P2
0
1
0 1 P2
0
得
到
P2
11，于是T
0 1
11，T
1
1 1
1 0
于是
G(T )
eAT
T
1 0
0 eT
T
1
eT 1 eT
0
1
H (T )
T eAt dtB
0
T et 0 1 et
0 K
1
dt
0
0 1
T
1 eT 1 e
0
eAt x0
t e A d eAt BK
0
( e A ) ' e A A e A ，两边 t 0
e A |t0
t e A d A t e A d
0
0
所以
t e A d
0
A1 e A
|t0
t 0
e
A
d
A1 te A A1e A |t0
A1 te A A1(e At I )
拉氏反变换法：
(SI
A)1
S 4
1 S
1
1 S2
4
S 4
1
S
e At
L1 (SI
A)1
cos 2t
2sin 2t
1 sin 2t 2 cos 2t
凯莱哈密顿法：1,2 2 j
0 1
(t)
(t)
1 1
1 2
1
e1t e2t
1 4
2(e2 jt e2 jt ) j(e2 jt e2 jt )
代入
x(t) eAt x0 A2 (e At I ) A1te At eAt BK
eAt x0 A2 (eAt I ) A1t BK
2-9. 有系统如图 2-2 所示，试求离散化 的状态空间表达式。设采样周期分别为
T 0.1s 和 1s, 而u1和u2为分段常数。
（一）标准离散化
凯莱哈密顿：
0 1
(t) (t)
1 4
e3t 3et
e3t
et
eAt 0I 1T 同上
2－６. 求下列状态空间表达式的解：
x y
0 1
0
0
(1, 0) x
x
0 1
u
初始状态x(0)
1 1
,
输入u(t)是单位阶跃函数。
根据直接法求e At .
e At
I
At
A2 2!
t2
...
1
0
t 1
x eAt x0
t eA(t ) Bu( )d
0
1
=
0
t 1
1 1
t1
0
0
t
1
0 1
1(
)d
=
1 1
t
t 0
t
1
d
1 2
2
2t 2 2t
t2
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1.
即当u(t) K (t)，x(0 ) x0时
x(t) eAt x0 eAt BK , 式中K与u(t)同维的常数矢量。
x eAt x0
t eA(t ) BK t ) ( )d BK
0
e At x0 e A(t ) | 0 BK
eAt x0 eAt BK
2．u(t) K 1(t)， x(0 ) x0
（二）近似离散化
eAt 0 (t)I 1(t) A
1 2
2cos 2t 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
（2）
A
1 4
1 1
eAt I At 1 A2t 2 1 A3t3
直接法：
2!
3!
1
t
5
t2 2!
13 6
t
3
,
t t2 7 t3 6
4t 4t2 28 t3, 6
1
t 4 t3 16 t5 3! 5!
1
4
t2 2!
16
t4 4!
64
t66!
约当型法：
I A 0 1,2 2 j
AP1 1P P1 1 2 jT
AP2 2 P2
P2 1 2 jT
T
1 2
j
1 2 j
e At
TetT 1
1 2
2cos 2t 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
T
0 K
T
0
0 1
K
K (1 eT ) (T 1 eT
)
0
T
于是得到离散时间状态空间表达式为：
x1 x2
(k (k
1) 1)
G
(T
)
x1 x2
(k) (k)
H
(T
)
u1 u2
(k (k
) )
1
eT eT
0 1
x1 x2
(k (k
) )
K
K (1 eT ) (T 1 eT
u1 u2
(k) (k)
y(k) 2
1
x1 x2
(k) (k)
当T 1s时我们可以得到
x1 x2
(k (k
1) 1)
1
e1 e1
0 1
x1 x2
(k) (k)
K
(1 e Ke1
1
)
0 1
u1 u2
(k) (k)
y(k) 2
1
x1 x2
(k) (k)
1）根据系统结构图得到系统的状态空间
表达式
x1 x1 Ku1 x2 x1 u2
y 2x1 x2
即
x1 x 2
1 1
0 0
x1 x2
K 0
y 2
1
x1 x2
0 u1
1
u2
2）根据 I A 1
1
0
1 0
得1 0;2 1.
据1I
A
P1
1 1
t
5
t2 2!
13 6
t
3
约当法T
1 2
1 2 ;T
1
1 4
2 2
1 1
e At
1 2(e3t et ),
4
4(e3t
et
)
拉氏反变换法
e3t et
2(e3t
et
)
SI
A 1
1
2(
S
1
3
S
1 ), 1
4
4(
S
1
3
S
1 ), 1
(
S
1 3
1) S 1
2(
S
1 3
S
1
1)
eAt 同上
第二章 作业
参考答案
2－4. 用三种方法计算eAt （定义法，约 当标准型，拉氏反变换，凯莱哈密顿）
（1）
A
0 4
1 0
直接法（不提倡使用，除非针对一些特
例）：
eAt I At 1 A2t 2 1 A3t3
2!
3!
1
4
t2 2!
16
t4 4!
64
t6 6!
,
4t 16 t3 64 t5 , 3! 5!
x eAt x0
t eA(t ) BK1(t)d
0
eAt x0
t e A(t )d BK
0
e At x0 A e 1 A(t ) |t0 BK
eAt x0 A1(eAt I )BK
3．u(t) k1(t) x(0) x0
x(t) eAt x0
t eA(t ) BK1(t)d